Алгебра Примеры

$\frac{x}{2 x + 7} = \frac{x - 5}{x - 1}$

Этап 1

Вычтем $\frac{x - 5}{x - 1}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{2 x + 7} - \frac{x - 5}{x - 1} = 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x}{2 x + 7} - \frac{x - 5}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{x}{2 x + 7}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x}{2 x + 7} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x - 5}{x - 1} = 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{x - 5}{x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x + 7}{2 x + 7}$ .

$\frac{x}{2 x + 7} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x - 5}{x - 1} \cdot \frac{2 x + 7}{2 x + 7} = 0$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(2 x + 7) (x - 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{x}{2 x + 7}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x (x - 1)}{(2 x + 7) (x - 1)} - \frac{x - 5}{x - 1} \cdot \frac{2 x + 7}{2 x + 7} = 0$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{x - 5}{x - 1}$ на $\frac{2 x + 7}{2 x + 7}$ .

$\frac{x (x - 1)}{(2 x + 7) (x - 1)} - \frac{(x - 5) (2 x + 7)}{(x - 1) (2 x + 7)} = 0$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(x - 1) (2 x + 7)$ .

$\frac{x (x - 1)}{(2 x + 7) (x - 1)} - \frac{(x - 5) (2 x + 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (x - 1) - (x - 5) (2 x + 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - (x - 5) (2 x + 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - (x - 5) (2 x + 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.5.3

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x - (x - 5) (2 x + 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.5.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{x^{2} - x - (x - 5) (2 x + 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - x + (- x - - 5) (2 x + 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.5.6

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$\frac{x^{2} - x + (- x + 5) (2 x + 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.5.7

Развернем $(- x + 5) (2 x + 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - x - x (2 x + 7) + 5 (2 x + 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.5.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - x - x (2 x) - x \cdot 7 + 5 (2 x + 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.5.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - x - x (2 x) - x \cdot 7 + 5 (2 x) + 5 \cdot 7}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.5.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.8.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x^{2} - x - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot 7 + 5 (2 x) + 5 \cdot 7}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.5.8.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.8.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{2} - x - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot 7 + 5 (2 x) + 5 \cdot 7}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.5.8.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} - x - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot 7 + 5 (2 x) + 5 \cdot 7}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.5.8.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 x^{2} - x \cdot 7 + 5 (2 x) + 5 \cdot 7}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.5.8.1.4

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 x^{2} - 7 x + 5 (2 x) + 5 \cdot 7}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.5.8.1.5

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 x^{2} - 7 x + 10 x + 5 \cdot 7}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.5.8.1.6

Умножим $5$ на $7$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 x^{2} - 7 x + 10 x + 35}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.5.8.2

Добавим $- 7 x$ и $10 x$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 x^{2} + 3 x + 35}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.5.9

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - x + 3 x + 35}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.5.10

Добавим $- x$ и $3 x$ .

$\frac{- x^{2} + 2 x + 35}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.5.11

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.11.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 35 = - 35$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.11.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{- x^{2} + 2 (x) + 35}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.5.11.1.2

Запишем $2$ как $- 5$ плюс $7$

$\frac{- x^{2} + (- 5 + 7) x + 35}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.5.11.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{2} - 5 x + 7 x + 35}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.5.11.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.11.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(- x^{2} - 5 x) + 7 x + 35}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.5.11.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (- x - 5) - 7 (- x - 5)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.5.11.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x - 5$ .

$\frac{(- x - 5) (x - 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{(- (x) - 5) (x - 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.7

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (5)) (x - 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (5)$ .

$\frac{- (x + 5) (x - 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9

Перепишем $- (x + 5)$ в виде $- 1 (x + 5)$ .

$\frac{- 1 (x + 5) (x - 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(x + 5) (x - 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Этап 3

Приравняем числитель к нулю.

$(x + 5) (x - 7) = 0$

Этап 4

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 5 = 0$

$x - 7 = 0$

Этап 4.2

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 4.2.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 4.3

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 4.3.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 4.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 5) (x - 7) = 0$ верно.

$x = - 5, 7$