Алгебра Примеры

$11 x - 49 \sqrt{x} + 48 = 0$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$11 x - 49 x^{\frac{1}{2}} + 48 = 0$

Этап 2

Перепишем $x$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$11 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 49 x^{\frac{1}{2}} + 48 = 0$

Этап 3

Пусть $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u$ вместо $x^{\frac{1}{2}}$ для всех.

$11 u^{2} - 49 u + 48 = 0$

Этап 4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 11 \cdot 48 = 528$ , а сумма — $b = - 49$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $- 49$ из $- 49 u$ .

$11 u^{2} - 49 u + 48 = 0$

Этап 4.1.2

Запишем $- 49$ как $- 16$ плюс $- 33$

$11 u^{2} + (- 16 - 33) u + 48 = 0$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$11 u^{2} - 16 u - 33 u + 48 = 0$

Этап 4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(11 u^{2} - 16 u) - 33 u + 48 = 0$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (11 u - 16) - 3 (11 u - 16) = 0$

Этап 4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $11 u - 16$ .

$(11 u - 16) (u - 3) = 0$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(11 x^{\frac{1}{2}} - 16) (x^{\frac{1}{2}} - 3) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$11 x^{\frac{1}{2}} - 16 = 0$

$x^{\frac{1}{2}} - 3 = 0$

Этап 7

Приравняем $11 x^{\frac{1}{2}} - 16$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $11 x^{\frac{1}{2}} - 16$ к $0$ .

$11 x^{\frac{1}{2}} - 16 = 0$

Этап 7.2

Решим $11 x^{\frac{1}{2}} - 16 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$11 x^{\frac{1}{2}} = 16$

Этап 7.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(11 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 16^{2}$

Этап 7.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Упростим ${(11 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.1

Применим правило умножения к $11 x^{\frac{1}{2}}$ .

$11^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 16^{2}$

Этап 7.2.3.1.1.2

Возведем $11$ в степень $2$ .

$121 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 16^{2}$

Этап 7.2.3.1.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$121 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 16^{2}$

Этап 7.2.3.1.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$121 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 16^{2}$

Этап 7.2.3.1.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$121 x^{1} = 16^{2}$

Этап 7.2.3.1.1.4

Упростим.

$121 x = 16^{2}$

Этап 7.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Возведем $16$ в степень $2$ .

$121 x = 256$

Этап 7.2.4

Разделим каждый член $121 x = 256$ на $121$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Разделим каждый член $121 x = 256$ на $121$ .

$\frac{121 x}{121} = \frac{256}{121}$

Этап 7.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.1

Сократим общий множитель $121$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{121 x}{121} = \frac{256}{121}$

Этап 7.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{256}{121}$

Этап 8

Приравняем $x^{\frac{1}{2}} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $x^{\frac{1}{2}} - 3$ к $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 3 = 0$

Этап 8.2

Решим $x^{\frac{1}{2}} - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x^{\frac{1}{2}} = 3$

Этап 8.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 3^{2}$

Этап 8.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Этап 8.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Этап 8.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 3^{2}$

Этап 8.2.3.1.1.2

Упростим.

$x = 3^{2}$

Этап 8.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = 9$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(11 x^{\frac{1}{2}} - 16) (x^{\frac{1}{2}} - 3) = 0$ верно.

$x = \frac{256}{121}, 9$