Алгебра Примеры

$11 x^{4} - 37 x^{2} + 26 = 0$

Этап 1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$11 {(x^{2})}^{2} - 37 x^{2} + 26 = 0$

Этап 2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$11 u^{2} - 37 u + 26 = 0$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 11 \cdot 26 = 286$ , а сумма — $b = - 37$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $- 37$ из $- 37 u$ .

$11 u^{2} - 37 u + 26 = 0$

Этап 3.1.2

Запишем $- 37$ как $- 11$ плюс $- 26$

$11 u^{2} + (- 11 - 26) u + 26 = 0$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$11 u^{2} - 11 u - 26 u + 26 = 0$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(11 u^{2} - 11 u) - 26 u + 26 = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$11 u (u - 1) - 26 (u - 1) = 0$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $u - 1$ .

$(u - 1) (11 u - 26) = 0$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$(x^{2} - 1) (11 x^{2} - 26) = 0$

Этап 5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(x^{2} - 1^{2}) (11 x^{2} - 26) = 0$

Этап 6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(x + 1) (x - 1) (11 x^{2} - 26) = 0$

Этап 7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$11 x^{2} - 26 = 0$

Этап 8

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 8.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 9

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 9.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 10

Приравняем $11 x^{2} - 26$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $11 x^{2} - 26$ к $0$ .

$11 x^{2} - 26 = 0$

Этап 10.2

Решим $11 x^{2} - 26 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Добавим $26$ к обеим частям уравнения.

$11 x^{2} = 26$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $11 x^{2} = 26$ на $11$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $11 x^{2} = 26$ на $11$ .

$\frac{11 x^{2}}{11} = \frac{26}{11}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{11 x^{2}}{11} = \frac{26}{11}$

Этап 10.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{26}{11}$

Этап 10.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{26}{11}}$

Этап 10.2.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{26}{11}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{26}{11}}$ в виде $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{11}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{11}}$

Этап 10.2.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{11}}$ на $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

Этап 10.2.4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{11}}$ на $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Этап 10.2.4.3.2

Возведем $\sqrt{11}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} \sqrt{11}}$

Этап 10.2.4.3.3

Возведем $\sqrt{11}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} {\sqrt{11}}^{1}}$

Этап 10.2.4.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

Этап 10.2.4.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}}$

Этап 10.2.4.3.6

Перепишем ${\sqrt{11}}^{2}$ в виде $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{11}$ в виде $11^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 10.2.4.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 10.2.4.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.2.4.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.2.4.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{11^{1}}$

Этап 10.2.4.3.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{11}$

Этап 10.2.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt{26 \cdot 11}}{11}$

Этап 10.2.4.4.2

Умножим $26$ на $11$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{286}}{11}$

Этап 10.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{286}}{11}$

Этап 10.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{286}}{11}$

Этап 10.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{286}}{11}, - \frac{\sqrt{286}}{11}$

Этап 11

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x - 1) (11 x^{2} - 26) = 0$ верно.

$x = - 1, 1, \frac{\sqrt{286}}{11}, - \frac{\sqrt{286}}{11}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - 1, 1, \frac{\sqrt{286}}{11}, - \frac{\sqrt{286}}{11}$

Десятичная форма:

$x = - 1, 1, 1.53741222 \dots, - 1.53741222 \dots$