Алгебра Примеры

$\frac{3}{n} + \frac{2}{n - 1} = 2$

Этап 1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\frac{3}{n} + \frac{2}{n - 1} - 2 = 0$

Этап 2

Упростим $\frac{3}{n} + \frac{2}{n - 1} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{3}{n}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{n - 1}{n - 1}$ .

$\frac{3}{n} \cdot \frac{n - 1}{n - 1} + \frac{2}{n - 1} - 2 = 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{2}{n - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{n}{n}$ .

$\frac{3}{n} \cdot \frac{n - 1}{n - 1} + \frac{2}{n - 1} \cdot \frac{n}{n} - 2 = 0$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $n (n - 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{3}{n}$ на $\frac{n - 1}{n - 1}$ .

$\frac{3 (n - 1)}{n (n - 1)} + \frac{2}{n - 1} \cdot \frac{n}{n} - 2 = 0$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{2}{n - 1}$ на $\frac{n}{n}$ .

$\frac{3 (n - 1)}{n (n - 1)} + \frac{2 n}{(n - 1) n} - 2 = 0$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(n - 1) n$ .

$\frac{3 (n - 1)}{n (n - 1)} + \frac{2 n}{n (n - 1)} - 2 = 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 (n - 1) + 2 n}{n (n - 1)} - 2 = 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 n + 3 \cdot - 1 + 2 n}{n (n - 1)} - 2 = 0$

Этап 2.5.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{3 n - 3 + 2 n}{n (n - 1)} - 2 = 0$

Этап 2.5.3

Добавим $3 n$ и $2 n$ .

$\frac{5 n - 3}{n (n - 1)} - 2 = 0$

Этап 2.6

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{n (n - 1)}{n (n - 1)}$ .

$\frac{5 n - 3}{n (n - 1)} - 2 \cdot \frac{n (n - 1)}{n (n - 1)} = 0$

Этап 2.7

Объединим $- 2$ и $\frac{n (n - 1)}{n (n - 1)}$ .

$\frac{5 n - 3}{n (n - 1)} + \frac{- 2 (n (n - 1))}{n (n - 1)} = 0$

Этап 2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 n - 3 - 2 (n (n - 1))}{n (n - 1)} = 0$

Этап 2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 n - 3 - 2 n \cdot n - 2 n \cdot - 1}{n (n - 1)} = 0$

Этап 2.9.2

Умножим $n$ на $n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Перенесем $n$ .

$\frac{5 n - 3 - 2 (n \cdot n) - 2 n \cdot - 1}{n (n - 1)} = 0$

Этап 2.9.2.2

Умножим $n$ на $n$ .

$\frac{5 n - 3 - 2 n^{2} - 2 n \cdot - 1}{n (n - 1)} = 0$

Этап 2.9.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{5 n - 3 - 2 n^{2} + 2 n}{n (n - 1)} = 0$

Этап 2.9.4

Добавим $5 n$ и $2 n$ .

$\frac{7 n - 3 - 2 n^{2}}{n (n - 1)} = 0$

Этап 2.9.5

Изменим порядок членов.

$\frac{- 2 n^{2} + 7 n - 3}{n (n - 1)} = 0$

Этап 2.9.6

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.6.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 2 \cdot - 3 = 6$ , а сумма — $b = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.6.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7 n$ .

$\frac{- 2 n^{2} + 7 (n) - 3}{n (n - 1)} = 0$

Этап 2.9.6.1.2

Запишем $7$ как $1$ плюс $6$

$\frac{- 2 n^{2} + (1 + 6) n - 3}{n (n - 1)} = 0$

Этап 2.9.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 n^{2} + 1 n + 6 n - 3}{n (n - 1)} = 0$

Этап 2.9.6.1.4

Умножим $n$ на $1$ .

$\frac{- 2 n^{2} + n + 6 n - 3}{n (n - 1)} = 0$

Этап 2.9.6.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.6.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(- 2 n^{2} + n) + 6 n - 3}{n (n - 1)} = 0$

Этап 2.9.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{n (- 2 n + 1) - 3 (- 2 n + 1)}{n (n - 1)} = 0$

Этап 2.9.6.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 2 n + 1$ .

$\frac{(- 2 n + 1) (n - 3)}{n (n - 1)} = 0$

Этап 2.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 n$ .

$\frac{(- (2 n) + 1) (n - 3)}{n (n - 1)} = 0$

Этап 2.11

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(- (2 n) - 1 (- 1)) (n - 3)}{n (n - 1)} = 0$

Этап 2.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 n) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 n - 1) (n - 3)}{n (n - 1)} = 0$

Этап 2.13

Перепишем $- (2 n - 1)$ в виде $- 1 (2 n - 1)$ .

$\frac{- 1 (2 n - 1) (n - 3)}{n (n - 1)} = 0$

Этап 2.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(2 n - 1) (n - 3)}{n (n - 1)} = 0$

Этап 3

Приравняем числитель к нулю.

$(2 n - 1) (n - 3) = 0$

Этап 4

Решим уравнение относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 n - 1 = 0$

$n - 3 = 0$

Этап 4.2

Приравняем $2 n - 1$ к $0$ , затем решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Приравняем $2 n - 1$ к $0$ .

$2 n - 1 = 0$

Этап 4.2.2

Решим $2 n - 1 = 0$ относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 n = 1$

Этап 4.2.2.2

Разделим каждый член $2 n = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Разделим каждый член $2 n = 1$ на $2$ .

$\frac{2 n}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 n}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.2.2.2.2.1.2

Разделим $n$ на $1$ .

$n = \frac{1}{2}$

Этап 4.3

Приравняем $n - 3$ к $0$ , затем решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $n - 3$ к $0$ .

$n - 3 = 0$

Этап 4.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$n = 3$

Этап 4.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 n - 1) (n - 3) = 0$ верно.

$n = \frac{1}{2}, 3$