Алгебра Примеры

$\frac{2 x}{x - 3} + \frac{1}{x} = 3$

Этап 1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$\frac{2 x}{x - 3} + \frac{1}{x} - 3 = 0$

Этап 2

Упростим $\frac{2 x}{x - 3} + \frac{1}{x} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{2 x}{x - 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 x}{x - 3} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} - 3 = 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 x}{x - 3} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - 3 = 0$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 3) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{2 x}{x - 3}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 x \cdot x}{(x - 3) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - 3 = 0$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 x \cdot x}{(x - 3) x} + \frac{x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(x - 3) x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{x (x - 3)} + \frac{x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x \cdot x + x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Этап 2.5.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Этап 2.5.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 1 x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Этап 2.5.2.1.2

Запишем $1$ как $- 2$ плюс $3$

$\frac{2 x^{2} + (- 2 + 3) x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Этап 2.5.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 3 x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Этап 2.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(2 x^{2} - 2 x) + 3 x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Этап 2.5.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{2 x (x - 1) + 3 (x - 1)}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Этап 2.5.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 1$ .

$\frac{(x - 1) (2 x + 3)}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Этап 2.6

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x (x - 3)}{x (x - 3)}$ .

$\frac{(x - 1) (2 x + 3)}{x (x - 3)} - 3 \cdot \frac{x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Этап 2.7

Объединим $- 3$ и $\frac{x (x - 3)}{x (x - 3)}$ .

$\frac{(x - 1) (2 x + 3)}{x (x - 3)} + \frac{- 3 (x (x - 3))}{x (x - 3)} = 0$

Этап 2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x - 1) (2 x + 3) - 3 (x (x - 3))}{x (x - 3)} = 0$

Этап 2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Развернем $(x - 1) (2 x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x + 3) - 1 (2 x + 3) - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Этап 2.9.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 3 - 1 (2 x + 3) - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Этап 2.9.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Этап 2.9.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Этап 2.9.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Этап 2.9.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Этап 2.9.2.1.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 \cdot x - 1 (2 x) - 1 \cdot 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Этап 2.9.2.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2 x - 1 \cdot 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Этап 2.9.2.1.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2 x - 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Этап 2.9.2.2

Вычтем $2 x$ из $3 x$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Этап 2.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + x - 3 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 3}{x (x - 3)} = 0$

Этап 2.9.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 3 - 3 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 3}{x (x - 3)} = 0$

Этап 2.9.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 3 - 3 x^{2} - 3 x \cdot - 3}{x (x - 3)} = 0$

Этап 2.9.5

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 3 - 3 x^{2} + 9 x}{x (x - 3)} = 0$

Этап 2.9.6

Вычтем $3 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + x - 3 + 9 x}{x (x - 3)} = 0$

Этап 2.9.7

Добавим $x$ и $9 x$ .

$\frac{- x^{2} + 10 x - 3}{x (x - 3)} = 0$

Этап 2.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 10 x - 3}{x (x - 3)} = 0$

Этап 2.11

Вынесем множитель $- 1$ из $10 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 10 x) - 3}{x (x - 3)} = 0$

Этап 2.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 10 x)$ .

$\frac{- (x^{2} - 10 x) - 3}{x (x - 3)} = 0$

Этап 2.13

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$\frac{- (x^{2} - 10 x) - 1 (3)}{x (x - 3)} = 0$

Этап 2.14

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 10 x) - 1 (3)$ .

$\frac{- (x^{2} - 10 x + 3)}{x (x - 3)} = 0$

Этап 2.15

Перепишем $- (x^{2} - 10 x + 3)$ в виде $- 1 (x^{2} - 10 x + 3)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 10 x + 3)}{x (x - 3)} = 0$

Этап 2.16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2} - 10 x + 3}{x (x - 3)} = 0$

Этап 3

Приравняем числитель к нулю.

$x^{2} - 10 x + 3 = 0$

Этап 4

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 10$ и $c = 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.3

Вычтем $12$ из $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.4

Перепишем $88$ в виде $2^{2} \cdot 22$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $88$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (22)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2}$

Этап 4.3.3

Упростим $\frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2}$ .

$x = 5 \pm \sqrt{22}$

Этап 4.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.3

Вычтем $12$ из $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.4

Перепишем $88$ в виде $2^{2} \cdot 22$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $88$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (22)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2}$

Этап 4.4.3

Упростим $\frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2}$ .

$x = 5 \pm \sqrt{22}$

Этап 4.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 5 + \sqrt{22}$

Этап 4.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.3

Вычтем $12$ из $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.4

Перепишем $88$ в виде $2^{2} \cdot 22$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $88$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (22)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2}$

Этап 4.5.3

Упростим $\frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2}$ .

$x = 5 \pm \sqrt{22}$

Этап 4.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 5 - \sqrt{22}$

Этап 4.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 5 + \sqrt{22}, 5 - \sqrt{22}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 5 + \sqrt{22}, 5 - \sqrt{22}$

Десятичная форма:

$x = 9.69041575 \dots, 0.30958424 \dots$