Алгебра Примеры

$\frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} = \frac{- 8}{x^{2} - 16}$

Этап 1

Вычтем $\frac{- 8}{x^{2} - 16}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} - \frac{- 8}{x^{2} - 16} = 0$

Этап 2

Упростим $\frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} - \frac{- 8}{x^{2} - 16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} - \frac{- 8}{x^{2} - 4^{2}} = 0$

Этап 2.1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$\frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} - \frac{- 8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} - - \frac{8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Этап 2.1.3

Умножим $- - \frac{8}{(x + 4) (x - 4)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} + 1 \frac{8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Этап 2.1.3.2

Умножим $\frac{8}{(x + 4) (x - 4)}$ на $1$ .

$\frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} + \frac{8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{1}{x + 4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{1}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{x}{x - 4} + \frac{8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Этап 2.3

Чтобы записать $\frac{x}{x - 4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{1}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{x}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Этап 2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 4) (x - 4)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $\frac{1}{x + 4}$ на $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x - 4}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{x}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Этап 2.4.2

Умножим $\frac{x}{x - 4}$ на $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x - 4}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{x (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Этап 2.4.3

Изменим порядок множителей в $(x - 4) (x + 4)$ .

$\frac{x - 4}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{x (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 4 + x (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 4 + x (x + 4) + 8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Этап 2.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - 4 + x \cdot x + x \cdot 4 + 8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Этап 2.7.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x - 4 + x^{2} + x \cdot 4 + 8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Этап 2.7.3

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\frac{x - 4 + x^{2} + 4 x + 8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Этап 2.8

Добавим $x$ и $4 x$ .

$\frac{5 x - 4 + x^{2} + 8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Этап 2.9

Добавим $- 4$ и $8$ .

$\frac{5 x + x^{2} + 4}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Этап 2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$\frac{5 u + u^{2} + 4}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Этап 2.10.2

Разложим $5 u + u^{2} + 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $4$ , а сумма — $5$ .

$1, 4$

Этап 2.10.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(u + 1) (u + 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Этап 2.10.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Этап 2.11

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Этап 2.11.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 1}{x - 4} = 0$

Этап 3

Приравняем числитель к нулю.

$x + 1 = 0$

Этап 4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$