Алгебра Примеры

$\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{x - 2}} = 2$

Этап 1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{x - 2}} - 2 = 0$

Этап 2

Упростим $\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{x - 2}} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{x - 2}}$ на $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{x - 2}} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}} - 2 = 0$

Этап 2.1.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{x - 2}}$ на $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 x} \sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}} - 2 = 0$

Этап 2.1.2.2

Возведем $\sqrt{x - 2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2 x} \sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} \sqrt{x - 2}} - 2 = 0$

Этап 2.1.2.3

Возведем $\sqrt{x - 2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2 x} \sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} {\sqrt{x - 2}}^{1}} - 2 = 0$

Этап 2.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{2 x} \sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1 + 1}} - 2 = 0$

Этап 2.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{2 x} \sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{2}} - 2 = 0$

Этап 2.1.2.6

Перепишем ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ в виде $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 2}$ в виде ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 x} \sqrt{x - 2}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 2 = 0$

Этап 2.1.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2 x} \sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 2 = 0$

Этап 2.1.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{2 x} \sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}} - 2 = 0$

Этап 2.1.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2 x} \sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}} - 2 = 0$

Этап 2.1.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2 x} \sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{1}} - 2 = 0$

Этап 2.1.2.6.5

Упростим.

$\frac{\sqrt{2 x} \sqrt{x - 2}}{x - 2} - 2 = 0$

Этап 2.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{2 x (x - 2)}}{x - 2} - 2 = 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{\sqrt{2 x (x - 2)}}{x - 2} - 2 \cdot \frac{x - 2}{x - 2} = 0$

Этап 2.3

Объединим $- 2$ и $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{\sqrt{2 x (x - 2)}}{x - 2} + \frac{- 2 (x - 2)}{x - 2} = 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2 x (x - 2)} - 2 (x - 2)}{x - 2} = 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{2 x (x - 2)} - 2 x - 2 \cdot - 2}{x - 2} = 0$

Этап 2.5.2

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{\sqrt{2 x (x - 2)} - 2 x + 4}{x - 2} = 0$

Этап 3

Приравняем числитель к нулю.

$\sqrt{2 x (x - 2)} - 2 x + 4 = 0$

Этап 4

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены без $\sqrt{2 x (x - 2)}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{2 x (x - 2)} + 4 = 2 x$

Этап 4.1.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{2 x (x - 2)} = 2 x - 4$

Этап 4.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 x (x - 2)}}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x (x - 2)}$ в виде ${(2 x (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим ${({(2 x (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 x (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 x (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 x (x - 2))}^{1} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2)}^{1} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1

Перенесем $x$ .

${(2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2)}^{1} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

${(2 x^{2} + 2 x \cdot - 2)}^{1} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

${(2 x^{2} - 4 x)}^{1} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.5

Упростим.

$2 x^{2} - 4 x = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Упростим ${(2 x - 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Перепишем ${(2 x - 4)}^{2}$ в виде $(2 x - 4) (2 x - 4)$ .

$2 x^{2} - 4 x = (2 x - 4) (2 x - 4)$

Этап 4.3.3.1.2

Развернем $(2 x - 4) (2 x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 4 x = 2 x (2 x - 4) - 4 (2 x - 4)$

Этап 4.3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 4 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x - 4)$

Этап 4.3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 4 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 4.3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x^{2} - 4 x = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 4.3.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$2 x^{2} - 4 x = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 4.3.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} - 4 x = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 4.3.3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x^{2} - 4 x = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 4.3.3.1.3.1.4

Умножим $- 4$ на $2$ .

$2 x^{2} - 4 x = 4 x^{2} - 8 x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 4.3.3.1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 4$ .

$2 x^{2} - 4 x = 4 x^{2} - 8 x - 8 x - 4 \cdot - 4$

Этап 4.3.3.1.3.1.6

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$2 x^{2} - 4 x = 4 x^{2} - 8 x - 8 x + 16$

Этап 4.3.3.1.3.2

Вычтем $8 x$ из $- 8 x$ .

$2 x^{2} - 4 x = 4 x^{2} - 16 x + 16$

Этап 4.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Вычтем $4 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 4 x - 4 x^{2} = - 16 x + 16$

Этап 4.4.1.2

Добавим $16 x$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{2} - 4 x - 4 x^{2} + 16 x = 16$

Этап 4.4.1.3

Вычтем $4 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} - 4 x + 16 x = 16$

Этап 4.4.1.4

Добавим $- 4 x$ и $16 x$ .

$- 2 x^{2} + 12 x = 16$

Этап 4.4.2

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x^{2} + 12 x - 16 = 0$

Этап 4.4.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x^{2} + 12 x - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 12 x - 16 = 0$

Этап 4.4.3.1.2

Вынесем множитель $- 2$ из $12 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 6 x) - 16 = 0$

Этап 4.4.3.1.3

Вынесем множитель $- 2$ из $- 16$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 6 x) - 2 \cdot 8 = 0$

Этап 4.4.3.1.4

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (x^{2}) - 2 (- 6 x)$ .

$- 2 (x^{2} - 6 x) - 2 \cdot 8 = 0$

Этап 4.4.3.1.5

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (x^{2} - 6 x) - 2 (8)$ .

$- 2 (x^{2} - 6 x + 8) = 0$

Этап 4.4.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.2.1

Разложим $x^{2} - 6 x + 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $8$ , а сумма — $- 6$ .

$- 4, - 2$

Этап 4.4.3.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 2 ((x - 4) (x - 2)) = 0$

Этап 4.4.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 2 (x - 4) (x - 2) = 0$

Этап 4.4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 4.4.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 4.4.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 4.4.6

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.4.6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 2 (x - 4) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 4, 2$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{\sqrt{2 x (x - 2)} - 2 x + 4}{x - 2} = 0$ истинным.

$x = 4$