Алгебра Примеры

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{4}{x} + 1 = 0$

Этап 1

Изменим порядок членов.

$- \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Этап 2

Чтобы записать $- \frac{4}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{4}{x}$ на $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{4 x}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Этап 3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{4 x}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Этап 3.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{4 x}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Этап 3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{4 x}{x^{1 + 1}} + \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Этап 3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 4 x + 1}{x^{2}} + 1 = 0$

Этап 5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{- 4 x + 1}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} = 0$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 4 x + 1 + x^{2}}{x^{2}} = 0$

Этап 7

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2}} = 0$

Этап 8

Приравняем числитель к нулю.

$x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Этап 9

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 9.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.3.1.3

Вычтем $4$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.3.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 9.3.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Этап 9.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.4.1.3

Вычтем $4$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.4.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 9.4.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Этап 9.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 2 + \sqrt{3}$

Этап 9.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.5.1.3

Вычтем $4$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.5.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 9.5.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Этап 9.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 2 - \sqrt{3}$

Этап 9.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$x = 3.73205080 \dots, 0.26794919 \dots$