Алгебра Примеры

$\frac{p + 5}{p^{2} + p} = \frac{1}{p^{2} + p} - \frac{p - 6}{p + 1}$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $\frac{1}{p^{2} + p}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{p + 5}{p^{2} + p} - \frac{1}{p^{2} + p} = - \frac{p - 6}{p + 1}$

Этап 1.2

Добавим $\frac{p - 6}{p + 1}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{p + 5}{p^{2} + p} - \frac{1}{p^{2} + p} + \frac{p - 6}{p + 1} = 0$

Этап 2

Упростим $\frac{p + 5}{p^{2} + p} - \frac{1}{p^{2} + p} + \frac{p - 6}{p + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{p + 5 - 1}{p^{2} + p} + \frac{p - 6}{p + 1} = 0$

Этап 2.2

Вычтем $1$ из $5$ .

$\frac{p + 4}{p^{2} + p} + \frac{p - 6}{p + 1} = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $p$ из $p^{2} + p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $p$ из $p^{2}$ .

$\frac{p + 4}{p \cdot p + p} + \frac{p - 6}{p + 1} = 0$

Этап 2.3.2

Возведем $p$ в степень $1$ .

$\frac{p + 4}{p \cdot p + p^{1}} + \frac{p - 6}{p + 1} = 0$

Этап 2.3.3

Вынесем множитель $p$ из $p^{1}$ .

$\frac{p + 4}{p \cdot p + p \cdot 1} + \frac{p - 6}{p + 1} = 0$

Этап 2.3.4

Вынесем множитель $p$ из $p \cdot p + p \cdot 1$ .

$\frac{p + 4}{p (p + 1)} + \frac{p - 6}{p + 1} = 0$

Этап 2.4

Чтобы записать $\frac{p - 6}{p + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{p}{p}$ .

$\frac{p + 4}{p (p + 1)} + \frac{p - 6}{p + 1} \cdot \frac{p}{p} = 0$

Этап 2.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $p (p + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $\frac{p - 6}{p + 1}$ на $\frac{p}{p}$ .

$\frac{p + 4}{p (p + 1)} + \frac{(p - 6) p}{(p + 1) p} = 0$

Этап 2.5.2

Изменим порядок множителей в $(p + 1) p$ .

$\frac{p + 4}{p (p + 1)} + \frac{(p - 6) p}{p (p + 1)} = 0$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{p + 4 + (p - 6) p}{p (p + 1)} = 0$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{p + 4 + p \cdot p - 6 p}{p (p + 1)} = 0$

Этап 2.7.2

Умножим $p$ на $p$ .

$\frac{p + 4 + p^{2} - 6 p}{p (p + 1)} = 0$

Этап 2.7.3

Вычтем $6 p$ из $p$ .

$\frac{- 5 p + 4 + p^{2}}{p (p + 1)} = 0$

Этап 2.7.4

Изменим порядок членов.

$\frac{p^{2} - 5 p + 4}{p (p + 1)} = 0$

Этап 2.7.5

Разложим $p^{2} - 5 p + 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $4$ , а сумма — $- 5$ .

$- 4, - 1$

Этап 2.7.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(p - 4) (p - 1)}{p (p + 1)} = 0$

Этап 3

Приравняем числитель к нулю.

$(p - 4) (p - 1) = 0$

Этап 4

Решим уравнение относительно $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$p - 4 = 0$

$p - 1 = 0$

Этап 4.2

Приравняем $p - 4$ к $0$ , затем решим относительно $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Приравняем $p - 4$ к $0$ .

$p - 4 = 0$

Этап 4.2.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$p = 4$

Этап 4.3

Приравняем $p - 1$ к $0$ , затем решим относительно $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $p - 1$ к $0$ .

$p - 1 = 0$

Этап 4.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$p = 1$

Этап 4.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(p - 4) (p - 1) = 0$ верно.

$p = 4, 1$