Алгебра Примеры

$f (x) = - x^{3} + 4 x^{2} + 15 x - 18$

Этап 1

Приравняем $- x^{3} + 4 x^{2} + 15 x - 18$ к $0$ .

$- x^{3} + 4 x^{2} + 15 x - 18 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разложим $- x^{3} + 4 x^{2} + 15 x - 18$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

Этап 2.1.1.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$- 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 18$

Этап 2.1.1.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 4 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 18$

Этап 2.1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + 4 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 18$

Этап 2.1.1.3.4

Возведем $1$ в степень $2$ .

$- 1 + 4 \cdot 1 + 15 \cdot 1 - 18$

Этап 2.1.1.3.5

Умножим $4$ на $1$ .

$- 1 + 4 + 15 \cdot 1 - 18$

Этап 2.1.1.3.6

Добавим $- 1$ и $4$ .

$3 + 15 \cdot 1 - 18$

Этап 2.1.1.3.7

Умножим $15$ на $1$ .

$3 + 15 - 18$

Этап 2.1.1.3.8

Добавим $3$ и $15$ .

$18 - 18$

Этап 2.1.1.3.9

Вычтем $18$ из $18$ .

$0$

Этап 2.1.1.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} + 15 x - 18}{x - 1}$

Этап 2.1.1.5

Разделим $- x^{3} + 4 x^{2} + 15 x - 18$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$18$

Этап 2.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$

Этап 2.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 2.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{3} + x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 2.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$

Этап 2.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$

Этап 2.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Этап 2.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{2} - 3 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 2.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$18 x$

Этап 2.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$18 x$	-	$18$

Этап 2.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $18 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$3 x$	+	$18$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$18 x$	-	$18$

Этап 2.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$3 x$	+	$18$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$18 x$	-	$18$
							+	$18 x$	-	$18$

Этап 2.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $18 x - 18$ .

			-	$x^{2}$	+	$3 x$	+	$18$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$18 x$	-	$18$
							-	$18 x$	+	$18$

Этап 2.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$3 x$	+	$18$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$18 x$	-	$18$
							-	$18 x$	+	$18$
										$0$

Этап 2.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- x^{2} + 3 x + 18$

Этап 2.1.1.6

Запишем $- x^{3} + 4 x^{2} + 15 x - 18$ в виде набора множителей.

$(x - 1) (- x^{2} + 3 x + 18) = 0$

Этап 2.1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 18 = - 18$ , а сумма — $b = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$(x - 1) (- x^{2} + 3 (x) + 18) = 0$

Этап 2.1.2.1.1.2

Запишем $3$ как $- 3$ плюс $6$

$(x - 1) (- x^{2} + (- 3 + 6) x + 18) = 0$

Этап 2.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 1) (- x^{2} - 3 x + 6 x + 18) = 0$

Этап 2.1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 1) ((- x^{2} - 3 x) + 6 x + 18) = 0$

Этап 2.1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 1) (x (- x - 3) - 6 (- x - 3)) = 0$

Этап 2.1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x - 3$ .

$(x - 1) ((- x - 3) (x - 6)) = 0$

Этап 2.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 1) (- x - 3) (x - 6) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$- x - 3 = 0$

$x - 6 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.4

Приравняем $- x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $- x - 3$ к $0$ .

$- x - 3 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $- x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$- x = 3$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $- x = 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $- x = 3$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{3}{- 1}$

Этап 2.4.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{- 1}$

Этап 2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.3.1

Разделим $3$ на $- 1$ .

$x = - 3$

Этап 2.5

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (- x - 3) (x - 6) = 0$ верно.

$x = 1, - 3, 6$

Этап 3