Алгебра Примеры

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 2 = 6$

Этап 1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 2 - 6 = 0$

Этап 2

Вычтем $6$ из $- 2$ .

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 8 = 0$

Этап 3

Перепишем ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}}$ в виде ${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}})}^{3}$ .

${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}})}^{3} - 8 = 0$

Этап 4

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}})}^{3} - 2^{3} = 0$

Этап 5

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ и $b = 2$ .

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}})}^{2} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} \cdot 2} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Этап 6.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Этап 6.1.2.2

Сократим общий множитель.

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Этап 6.1.2.3

Перепишем это выражение.

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Этап 6.2

Перенесем $2$ влево от ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ .

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + 2^{2}) = 0$

Этап 6.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + 4) = 0$

Этап 6.4

Изменим порядок членов.

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 4) = 0$

Этап 7

Упростим $({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Развернем $({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 4)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Этап 7.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Этап 7.2.1.2

Умножим ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ на ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.1

Перенесем ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ .

$2 ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Этап 7.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Этап 7.2.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1 + 1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Этап 7.2.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{2}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Этап 7.2.1.2.5

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{2 (1)}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Этап 7.2.1.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Этап 7.2.1.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

Этап 7.2.1.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Этап 7.2.1.3

Умножим ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ на ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Этап 7.2.1.3.2

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Этап 7.2.1.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.3.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Этап 7.2.1.3.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{2}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Этап 7.2.1.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1 + 2}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Этап 7.2.1.3.5

Добавим $1$ и $2$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Этап 7.2.1.4

Перенесем $4$ влево от ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + 4 \cdot {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Этап 7.2.1.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Этап 7.2.1.6

Умножим $- 2$ на $4$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 8 = 0$

Этап 7.2.2

Объединим противоположные члены в $2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ из $4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + 0 - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 8 = 0$

Этап 7.2.2.2

Добавим $2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}}$ и $0$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 8 = 0$

Этап 7.2.2.3

Вычтем $2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ из $2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 8 = 0$

Этап 7.2.2.4

Добавим $0$ и ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}}$ .

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 8 = 0$

Этап 8

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} = 8$

Этап 9

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{4}{3}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Этап 10

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Упростим ${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Этап 10.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Этап 10.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

Этап 10.1.1.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

Этап 10.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

${(x^{2} - x - 4)}^{1} = 8^{\frac{4}{3}}$

Этап 10.1.1.2

Упростим.

$x^{2} - x - 4 = 8^{\frac{4}{3}}$

Этап 10.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим $8^{\frac{4}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$x^{2} - x - 4 = {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Этап 10.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - x - 4 = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

Этап 10.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} - x - 4 = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

Этап 10.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} - x - 4 = 2^{4}$

Этап 10.2.1.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$x^{2} - x - 4 = 16$

Этап 11

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - x - 4 - 16 = 0$

Этап 11.2

Вычтем $16$ из $- 4$ .

$x^{2} - x - 20 = 0$

Этап 11.3

Разложим $x^{2} - x - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 20$ , а сумма — $- 1$ .

$- 5, 4$

Этап 11.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Этап 11.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 11.5

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 11.5.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 11.6

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 11.6.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 11.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 5) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 5, - 4$