Алгебра Примеры

${(x - 4)}^{\frac{3}{2}} = 64$

Этап 1

Вычтем $64$ из обеих частей уравнения.

${(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 64 = 0$

Этап 2

Перепишем ${(x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ в виде ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{3} - 64 = 0$

Этап 3

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{3} - 4^{3} = 0$

Этап 4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ и $b = 4$ .

$({(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 4) ({({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$({(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 4) ({(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 5.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$({(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 4) ({(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$({(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 4) ((x - 4) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 5.2

Упростим.

$({(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 4) (x - 4 + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 5.3

Перенесем $4$ влево от ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$({(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 4) (x - 4 + 4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 4^{2}) = 0$

Этап 5.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$({(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 4) (x - 4 + 4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 16) = 0$

Этап 5.5

Добавим $- 4$ и $16$ .

$({(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 4) (x + 4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 12) = 0$

Этап 6

Упростим $({(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 4) (x + 4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 12)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Развернем $({(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 4) (x + 4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 12)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

${(x - 4)}^{\frac{1}{2}} x + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 12 - 4 x - 4 (4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}) - 4 \cdot 12 = 0$

Этап 6.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

${(x - 4)}^{\frac{1}{2}} x + 4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 12 - 4 x - 4 (4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}) - 4 \cdot 12 = 0$

Этап 6.2.1.2

Умножим ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Перенесем ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x - 4)}^{\frac{1}{2}} x + 4 ({(x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 12 - 4 x - 4 (4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}) - 4 \cdot 12 = 0$

Этап 6.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x - 4)}^{\frac{1}{2}} x + 4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 12 - 4 x - 4 (4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}) - 4 \cdot 12 = 0$

Этап 6.2.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x - 4)}^{\frac{1}{2}} x + 4 {(x - 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 12 - 4 x - 4 (4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}) - 4 \cdot 12 = 0$

Этап 6.2.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

${(x - 4)}^{\frac{1}{2}} x + 4 {(x - 4)}^{\frac{2}{2}} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 12 - 4 x - 4 (4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}) - 4 \cdot 12 = 0$

Этап 6.2.1.2.5

Разделим $2$ на $2$ .

${(x - 4)}^{\frac{1}{2}} x + 4 {(x - 4)}^{1} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 12 - 4 x - 4 (4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}) - 4 \cdot 12 = 0$

Этап 6.2.1.3

Упростим $4 {(x - 4)}^{1}$ .

${(x - 4)}^{\frac{1}{2}} x + 4 (x - 4) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 12 - 4 x - 4 (4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}) - 4 \cdot 12 = 0$

Этап 6.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

${(x - 4)}^{\frac{1}{2}} x + 4 x + 4 \cdot - 4 + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 12 - 4 x - 4 (4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}) - 4 \cdot 12 = 0$

Этап 6.2.1.5

Умножим $4$ на $- 4$ .

${(x - 4)}^{\frac{1}{2}} x + 4 x - 16 + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 12 - 4 x - 4 (4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}) - 4 \cdot 12 = 0$

Этап 6.2.1.6

Перенесем $12$ влево от ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x - 4)}^{\frac{1}{2}} x + 4 x - 16 + 12 \cdot {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 4 x - 4 (4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}) - 4 \cdot 12 = 0$

Этап 6.2.1.7

Умножим $4$ на $- 4$ .

${(x - 4)}^{\frac{1}{2}} x + 4 x - 16 + 12 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 4 x - 16 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 12 = 0$

Этап 6.2.1.8

Умножим $- 4$ на $12$ .

${(x - 4)}^{\frac{1}{2}} x + 4 x - 16 + 12 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 4 x - 16 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 48 = 0$

Этап 6.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Объединим противоположные члены в ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}} x + 4 x - 16 + 12 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 4 x - 16 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Вычтем $4 x$ из $4 x$ .

${(x - 4)}^{\frac{1}{2}} x - 16 + 12 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 0 - 16 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 48 = 0$

Этап 6.2.2.1.2

Добавим ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}} x - 16 + 12 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ и $0$ .

${(x - 4)}^{\frac{1}{2}} x - 16 + 12 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 16 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 48 = 0$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $48$ из $- 16$ .

${(x - 4)}^{\frac{1}{2}} x - 64 + 12 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 16 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Этап 6.2.2.3

Вычтем $16 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ из $12 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x - 4)}^{\frac{1}{2}} x - 64 - 4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Этап 6.2.2.4

Изменим порядок множителей в ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}} x - 64 - 4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 64 - 4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Этап 7

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx 20$

Этап 8