Алгебра Примеры

$y = x^{4} + x^{3} - 24 x^{2} - 25 x - 25$

Этап 1

Приравняем $x^{4} + x^{3} - 24 x^{2} - 25 x - 25$ к $0$ .

$x^{4} + x^{3} - 24 x^{2} - 25 x - 25 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$x^{3} - 25 x + x^{4} - 24 x^{2} - 25 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 25 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 25 x + x^{4} - 24 x^{2} - 25 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 25 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 25 + x^{4} - 24 x^{2} - 25 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot - 25$ .

$x (x^{2} - 25) + x^{4} - 24 x^{2} - 25 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x (x^{2} - 5^{2}) + x^{4} - 24 x^{2} - 25 = 0$

Этап 2.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$x ((x + 5) (x - 5)) + x^{4} - 24 x^{2} - 25 = 0$

Этап 2.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x + 5) (x - 5) + x^{4} - 24 x^{2} - 25 = 0$

Этап 2.1.5

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x + 5) (x - 5) + {(x^{2})}^{2} - 24 x^{2} - 25 = 0$

Этап 2.1.6

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$x (x + 5) (x - 5) + u^{2} - 24 u - 25 = 0$

Этап 2.1.7

Разложим $u^{2} - 24 u - 25$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 25$ , а сумма — $- 24$ .

$- 25, 1$

Этап 2.1.7.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$x (x + 5) (x - 5) + (u - 25) (u + 1) = 0$

Этап 2.1.8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x (x + 5) (x - 5) + (x^{2} - 25) (x^{2} + 1) = 0$

Этап 2.1.9

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x (x + 5) (x - 5) + (x^{2} - 5^{2}) (x^{2} + 1) = 0$

Этап 2.1.10

$x (x + 5) (x - 5) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 1) = 0$

Этап 2.1.11

Вынесем множитель $(x + 5) (x - 5)$ из $x (x + 5) (x - 5) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1

Вынесем множитель $(x + 5) (x - 5)$ из $x (x + 5) (x - 5)$ .

$(x + 5) (x - 5) (x) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 1) = 0$

Этап 2.1.11.2

Вынесем множитель $(x + 5) (x - 5)$ из $(x + 5) (x - 5) (x) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 1)$ .

$(x + 5) (x - 5) (x + x^{2} + 1) = 0$

Этап 2.1.12

Изменим порядок членов.

$(x + 5) (x - 5) (x^{2} + x + 1) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 2.4

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 2.5

Приравняем $x^{2} + x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{2} + x + 1$ к $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{2} + x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 5) (x - 5) (x^{2} + x + 1) = 0$ верно.

$x = - 5, 5, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3