Алгебра Примеры

$\ln (x - 3) + \ln (x + 2) = \ln (x - 7)$

Этап 1

Вычтем $\ln (x - 7)$ из обеих частей уравнения.

$\ln (x - 3) + \ln (x + 2) - \ln (x - 7) = 0$

Этап 2

Упростим $\ln (x - 3) + \ln (x + 2) - \ln (x - 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 3) (x + 2)) - \ln (x - 7) = 0$

Этап 2.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{(x - 3) (x + 2)}{x - 7}) = 0$

Этап 3

Перепишем $\ln (\frac{(x - 3) (x + 2)}{x - 7}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{(x - 3) (x + 2)}{x - 7}$

Этап 4

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$(x - 3) (x + 2) = e^{0} (x - 7)$

Этап 5

Упростим $e^{0} (x - 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$(x - 3) (x + 2) = 1 (x - 7)$

Этап 5.2

Умножим $x - 7$ на $1$ .

$(x - 3) (x + 2) = x - 7$

Этап 6

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$(x - 3) (x + 2) - x = - 7$

Этап 6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Развернем $(x - 3) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x + 2) - 3 (x + 2) - x = - 7$

Этап 6.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 2 - 3 (x + 2) - x = - 7$

Этап 6.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2 - x = - 7$

Этап 6.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2 - x = - 7$

Этап 6.2.2.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot x - 3 x - 3 \cdot 2 - x = - 7$

Этап 6.2.2.1.3

Умножим $- 3$ на $2$ .

$x^{2} + 2 x - 3 x - 6 - x = - 7$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $3 x$ из $2 x$ .

$x^{2} - x - 6 - x = - 7$

Этап 6.3

Вычтем $x$ из $- x$ .

$x^{2} - 2 x - 6 = - 7$

Этап 7

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 2 x = - 7 + 6$

Этап 7.2

Добавим $- 7$ и $6$ .

$x^{2} - 2 x = - 1$

Этап 8

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Этап 9

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Этап 9.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 9.3

Перепишем многочлен.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Этап 9.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 10

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 11

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$