Алгебра Примеры

$\frac{x^{- 4} + y^{- 4}}{x^{- 3} + y^{- 3}}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{4}} + y^{- 4}}{x^{- 3} + y^{- 3}}$

Этап 1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{y^{4}}}{x^{- 3} + y^{- 3}}$

Этап 1.3

Чтобы записать $\frac{1}{x^{4}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y^{4}}{y^{4}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{y^{4}}{y^{4}} + \frac{1}{y^{4}}}{x^{- 3} + y^{- 3}}$

Этап 1.4

Чтобы записать $\frac{1}{y^{4}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{y^{4}}{y^{4}} + \frac{1}{y^{4}} \cdot \frac{x^{4}}{x^{4}}}{x^{- 3} + y^{- 3}}$

Этап 1.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x^{4} y^{4}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $\frac{1}{x^{4}}$ на $\frac{y^{4}}{y^{4}}$ .

$\frac{\frac{y^{4}}{x^{4} y^{4}} + \frac{1}{y^{4}} \cdot \frac{x^{4}}{x^{4}}}{x^{- 3} + y^{- 3}}$

Этап 1.5.2

Умножим $\frac{1}{y^{4}}$ на $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ .

$\frac{\frac{y^{4}}{x^{4} y^{4}} + \frac{x^{4}}{y^{4} x^{4}}}{x^{- 3} + y^{- 3}}$

Этап 1.5.3

Изменим порядок множителей в $y^{4} x^{4}$ .

$\frac{\frac{y^{4}}{x^{4} y^{4}} + \frac{x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{x^{- 3} + y^{- 3}}$

Этап 1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{x^{- 3} + y^{- 3}}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $x^{- 3}$ в виде ${(x^{- 1})}^{3}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{{(x^{- 1})}^{3} + y^{- 3}}$

Этап 2.2

Перепишем $y^{- 3}$ в виде ${(y^{- 1})}^{3}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{{(x^{- 1})}^{3} + {(y^{- 1})}^{3}}$

Этап 2.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x^{- 1}$ и $b = y^{- 1}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{(x^{- 1} + y^{- 1}) ({(x^{- 1})}^{2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{(\frac{1}{x} + y^{- 1}) ({(x^{- 1})}^{2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Этап 2.4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) ({(x^{- 1})}^{2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Этап 2.4.3

Чтобы записать $\frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{(\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y}) ({(x^{- 1})}^{2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Этап 2.4.4

Чтобы записать $\frac{1}{y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{(\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}) ({(x^{- 1})}^{2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Этап 2.4.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x y$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{(\frac{y}{x y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}) ({(x^{- 1})}^{2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Этап 2.4.5.2

Умножим $\frac{1}{y}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{(\frac{y}{x y} + \frac{x}{y x}) ({(x^{- 1})}^{2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Этап 2.4.5.3

Изменим порядок множителей в $y x$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{(\frac{y}{x y} + \frac{x}{x y}) ({(x^{- 1})}^{2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Этап 2.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} ({(x^{- 1})}^{2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Этап 2.4.7

Перемножим экспоненты в ${(x^{- 1})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (x^{- 1 \cdot 2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Этап 2.4.7.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (x^{- 2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Этап 2.4.8

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x^{2}} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Этап 2.4.9

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Этап 2.4.10

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Этап 2.4.11

Умножим $\frac{1}{y}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y x} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Этап 2.4.12

Перемножим экспоненты в ${(y^{- 1})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.12.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y x} + y^{- 1 \cdot 2})}$

Этап 2.4.12.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y x} + y^{- 2})}$

Этап 2.4.13

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y x} + \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 2.4.14

Чтобы записать $\frac{1}{x^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y x} + \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 2.4.15

Чтобы записать $- \frac{1}{y x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 2.4.16

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $y x^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.16.1

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x^{2} y} - \frac{1}{y x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 2.4.16.2

Умножим $\frac{1}{y x}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x^{2} y} - \frac{x}{y x \cdot x} + \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 2.4.16.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x^{2} y} - \frac{x}{y (x^{1} x)} + \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 2.4.16.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x^{2} y} - \frac{x}{y (x^{1} x^{1})} + \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 2.4.16.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x^{2} y} - \frac{x}{y x^{1 + 1}} + \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 2.4.16.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x^{2} y} - \frac{x}{y x^{2}} + \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 2.4.16.7

Изменим порядок множителей в $y x^{2}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x^{2} y} - \frac{x}{x^{2} y} + \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 2.4.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y - x}{x^{2} y} + \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 2.4.18

Чтобы записать $\frac{y - x}{x^{2} y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y - x}{x^{2} y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 2.4.19

Чтобы записать $\frac{1}{y^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y - x}{x^{2} y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}})}$

Этап 2.4.20

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x^{2} y^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.20.1

Умножим $\frac{y - x}{x^{2} y}$ на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{(y - x) y}{x^{2} y \cdot y} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}})}$

Этап 2.4.20.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{(y - x) y}{x^{2} (y^{1} y)} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}})}$

Этап 2.4.20.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{(y - x) y}{x^{2} (y^{1} y^{1})} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}})}$

Этап 2.4.20.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{(y - x) y}{x^{2} y^{1 + 1}} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}})}$

Этап 2.4.20.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{(y - x) y}{x^{2} y^{2}} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}})}$

Этап 2.4.20.6

Умножим $\frac{1}{y^{2}}$ на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{(y - x) y}{x^{2} y^{2}} + \frac{x^{2}}{y^{2} x^{2}})}$

Этап 2.4.20.7

Изменим порядок множителей в $y^{2} x^{2}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{(y - x) y}{x^{2} y^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2} y^{2}})}$

Этап 2.4.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{(y - x) y + x^{2}}{x^{2} y^{2}}}$

Этап 2.4.22

Перепишем $\frac{(y - x) y + x^{2}}{x^{2} y^{2}}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.22.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y \cdot y - x y + x^{2}}{x^{2} y^{2}}}$

Этап 2.4.22.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y^{2} - x y + x^{2}}{x^{2} y^{2}}}$

Этап 3

Умножим $\frac{y + x}{x y}$ на $\frac{y^{2} - x y + x^{2}}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}{x y (x^{2} y^{2})}}$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}{x^{2} x^{1} y \cdot y^{2}}}$

Этап 4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}{x^{2 + 1} y \cdot y^{2}}}$

Этап 4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}{x^{3} y \cdot y^{2}}}$

Этап 4.4

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перенесем $y^{2}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}{x^{3} (y^{2} y)}}$

Этап 4.4.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}{x^{3} (y^{2} y^{1})}}$

Этап 4.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}{x^{3} y^{2 + 1}}}$

Этап 4.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}{x^{3} y^{3}}}$

Этап 5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}} \cdot \frac{x^{3} y^{3}}{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}$

Этап 6

Сократим общий множитель $x^{3} y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $x^{3} y^{3}$ из $x^{4} y^{4}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{3} y^{3} (x y)} \cdot \frac{x^{3} y^{3}}{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{3} y^{3} (x y)} \cdot \frac{x^{3} y^{3}}{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}$

Этап 6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{4} + x^{4}}{x y} \cdot \frac{1}{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}$

Этап 7

Умножим $\frac{y^{4} + x^{4}}{x y}$ на $\frac{1}{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4}}{x y (y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}$