Алгебра Примеры

$\frac{1}{{(x + h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2

Чтобы записать $- \frac{1}{x^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем ${(x + h)}^{2} x^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{{(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в ${(x + h)}^{2} x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} - \frac{{(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = x + h$ .

$\frac{(x + x + h) (x - (x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{(2 x + h) (x - (x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + h) (x - x - h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Этап 5.2.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{(2 x + h) (0 - h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Этап 5.2.4

Вычтем $h$ из $0$ .

$\frac{(2 x + h) \cdot - 1 h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Этап 5.2.5

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- ((2 x + h) h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

$\frac{- (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Этап 6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Этап 6.2

Изменим порядок множителей в $- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ .

$- \frac{h (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$