Алгебра Примеры

$2 \ln (x) - \ln (2 x - 7) = \ln (5 x) - \ln (x - 2)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (x) - \ln (2 x - 7) = \ln (\frac{5 x}{x - 2})$

Этап 2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$2 \ln (x) - \ln (2 x - 7) - \ln (\frac{5 x}{x - 2}) = 0$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $2 \ln (x) - \ln (2 x - 7) - \ln (\frac{5 x}{x - 2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим $2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (x^{2}) - \ln (2 x - 7) - \ln (\frac{5 x}{x - 2}) = 0$

Этап 3.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{2 x - 7}) - \ln (\frac{5 x}{x - 2}) = 0$

Этап 3.1.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{2}}{2 x - 7}}{\frac{5 x}{x - 2}}) = 0$

Этап 3.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (\frac{x^{2}}{2 x - 7} \cdot \frac{x - 2}{5 x}) = 0$

Этап 3.1.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\ln (\frac{x \cdot x}{2 x - 7} \cdot \frac{x - 2}{5 x}) = 0$

Этап 3.1.5.2

Вынесем множитель $x$ из $5 x$ .

$\ln (\frac{x \cdot x}{2 x - 7} \cdot \frac{x - 2}{x \cdot 5}) = 0$

Этап 3.1.5.3

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{x \cdot x}{2 x - 7} \cdot \frac{x - 2}{x \cdot 5}) = 0$

Этап 3.1.5.4

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{x}{2 x - 7} \cdot \frac{x - 2}{5}) = 0$

Этап 3.1.6

Умножим $\frac{x}{2 x - 7}$ на $\frac{x - 2}{5}$ .

$\ln (\frac{x (x - 2)}{(2 x - 7) \cdot 5}) = 0$

Этап 3.1.7

Перенесем $5$ влево от $2 x - 7$ .

$\ln (\frac{x (x - 2)}{5 (2 x - 7)}) = 0$

Этап 4

Перепишем $\ln (\frac{x (x - 2)}{5 (2 x - 7)}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{x (x - 2)}{5 (2 x - 7)}$

Этап 5

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$x (x - 2) = e^{0} (5 (2 x - 7))$

Этап 6

Упростим $e^{0} (5 (2 x - 7))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x (x - 2) = 1 (5 (2 x - 7))$

Этап 6.1.2

Умножим $5 (2 x - 7)$ на $1$ .

$x (x - 2) = 5 (2 x - 7)$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 2) = 5 (2 x) + 5 \cdot - 7$

Этап 6.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $2$ на $5$ .

$x (x - 2) = 10 x + 5 \cdot - 7$

Этап 6.3.2

Умножим $5$ на $- 7$ .

$x (x - 2) = 10 x - 35$

Этап 7

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $10 x$ из обеих частей уравнения.

$x (x - 2) - 10 x = - 35$

Этап 7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 10 x = - 35$

Этап 7.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 - 10 x = - 35$

Этап 7.2.3

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$x^{2} - 2 x - 10 x = - 35$

Этап 7.3

Вычтем $10 x$ из $- 2 x$ .

$x^{2} - 12 x = - 35$

Этап 8

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - 12 x = - 35$

Этап 8.2

Вынесем множитель $x$ из $- 12 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 12 = - 35$

Этап 8.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 12$ .

$x (x - 12) = - 35$

Этап 9

Упростим $x (x - 12)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 12 = - 35$

Этап 9.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 12 = - 35$

Этап 9.2.2

Перенесем $- 12$ влево от $x$ .

$x^{2} - 12 x = - 35$

Этап 10

Добавим $35$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 12 x + 35 = 0$

Этап 11

Разложим $x^{2} - 12 x + 35$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $35$ , а сумма — $- 12$ .

$- 7, - 5$

Этап 11.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 7) (x - 5) = 0$

Этап 12

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 13

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 13.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 14

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 14.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 15

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 7) (x - 5) = 0$ верно.

$x = 7, 5$