Алгебра Примеры

$\log_{3} (x) + \log_{3} (x^{2} + 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (x (x^{2} + 2)) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{3} (x \cdot x^{2} + x \cdot 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Этап 1.3

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\log_{3} (x \cdot x^{2} + x \cdot 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Этап 1.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{3} (x^{1 + 2} + x \cdot 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Этап 1.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\log_{3} (x^{3} + x \cdot 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Этап 1.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\log_{3} (x^{3} + 2 x) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Этап 2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\log_{3} (x^{3} + 2 x) - 2 \log_{3} (x) = 1$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $\log_{3} (x^{3} + 2 x) - 2 \log_{3} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим $- 2 \log_{3} (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{3} (x^{3} + 2 x) - \log_{3} (x^{2}) = 1$

Этап 3.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x^{3} + 2 x}{x^{2}}) = 1$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\log_{3} (\frac{x \cdot x^{2} + 2 x}{x^{2}}) = 1$

Этап 3.1.3.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$\log_{3} (\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 2}{x^{2}}) = 1$

Этап 3.1.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot 2$ .

$\log_{3} (\frac{x (x^{2} + 2)}{x^{2}}) = 1$

Этап 3.1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{x (x^{2} + 2)}{x \cdot x}) = 1$

Этап 3.1.4.2

Сократим общий множитель.

$\log_{3} (\frac{x (x^{2} + 2)}{x \cdot x}) = 1$

Этап 3.1.4.3

Перепишем это выражение.

$\log_{3} (\frac{x^{2} + 2}{x}) = 1$

Этап 4

Перепишем $\log_{3} (\frac{x^{2} + 2}{x}) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$3^{1} = \frac{x^{2} + 2}{x}$

Этап 5

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$x^{2} + 2 = 3 (x)$

Этап 6

Умножим $3$ на $x$ .

$x^{2} + 2 = 3 x$

Этап 7

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 2 - 3 x = 0$

Этап 8

Разложим $x^{2} + 2 - 3 x$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $- 3$ .

$- 2, - 1$

Этап 8.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 2) (x - 1) = 0$

Этап 9

Упростим $(x - 2) (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Развернем $(x - 2) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 1) - 2 (x - 1) = 0$

Этап 9.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (x - 1) = 0$

Этап 9.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1 = 0$

Этап 9.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1 = 0$

Этап 9.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 1 = 0$

Этап 9.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} - x - 2 x - 2 \cdot - 1 = 0$

Этап 9.2.1.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$x^{2} - x - 2 x + 2 = 0$

Этап 9.2.2

Вычтем $2 x$ из $- x$ .

$x^{2} - 3 x + 2 = 0$

Этап 10

Разложим $x^{2} - 3 x + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

$- 2, - 1$

Этап 10.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 2) (x - 1) = 0$

Этап 11

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 12

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 12.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 13

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 13.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 2, 1$