Алгебра Примеры

${(x + \frac{1}{3})}^{4}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(x)}^{4 - k} \cdot {(\frac{1}{3})}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} {(x)}^{4 - 0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} {(x)}^{4 - 1} \cdot {(\frac{1}{3})}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} {(x)}^{4 - 2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} {(x)}^{4 - 3} \cdot {(\frac{1}{3})}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} {(x)}^{4 - 4} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(x)}^{4} \cdot {(\frac{1}{3})}^{0} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{3})}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{3})}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(x)}^{4}$ на $1$ .

${(x)}^{4} \cdot {(\frac{1}{3})}^{0} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{3})}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{3})}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$x^{4} \cdot \frac{1^{0}}{3^{0}} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{3})}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{3})}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{4} \cdot \frac{1}{3^{0}} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{3})}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{3})}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{4} \cdot \frac{1}{1} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{3})}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{3})}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.5

Разделим $1$ на $1$ .

$x^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{3})}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{3})}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.6

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$x^{4} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{3})}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{3})}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.7

Упростим.

$x^{4} + 4 x^{3} \cdot \frac{1}{3} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{3})}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.8

Умножим $4 x^{3} \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{3}$ .

$x^{4} + x^{3} \frac{4}{3} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{3})}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.8.2

Объединим $x^{3}$ и $\frac{4}{3}$ .

$x^{4} + \frac{x^{3} \cdot 4}{3} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{3})}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.9

Перенесем $4$ влево от $x^{3}$ .

$x^{4} + \frac{4 \cdot x^{3}}{3} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{3})}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.10

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$x^{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + 6 x^{2} \cdot \frac{1^{2}}{3^{2}} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{3})}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.11

Единица в любой степени равна единице.

$x^{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + 6 x^{2} \cdot \frac{1}{3^{2}} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{3})}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.12

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x^{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + 6 x^{2} \cdot \frac{1}{9} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{3})}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.13

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Вынесем множитель $3$ из $6 x^{2}$ .

$x^{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + 3 (2 x^{2}) \cdot \frac{1}{9} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{3})}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.13.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$x^{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + 3 (2 x^{2}) \cdot \frac{1}{3 (3)} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{3})}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.13.3

Сократим общий множитель.

$x^{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + 3 (2 x^{2}) \cdot \frac{1}{3 \cdot 3} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{3})}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.13.4

Перепишем это выражение.

$x^{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + 2 x^{2} \cdot \frac{1}{3} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{3})}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.14

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$x^{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + x^{2} \cdot \frac{2}{3} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{3})}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.15

Объединим $x^{2}$ и $\frac{2}{3}$ .

$x^{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{x^{2} \cdot 2}{3} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{3})}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.16

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$x^{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{2 \cdot x^{2}}{3} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{3})}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.17

Упростим.

$x^{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{2}}{3} + 4 \cdot x \cdot {(\frac{1}{3})}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.18

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$x^{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{2}}{3} + 4 x \cdot \frac{1^{3}}{3^{3}} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.19

Единица в любой степени равна единице.

$x^{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{2}}{3} + 4 x \cdot \frac{1}{3^{3}} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.20

Возведем $3$ в степень $3$ .

$x^{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{2}}{3} + 4 x \cdot \frac{1}{27} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.21

Умножим $4 x \frac{1}{27}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.21.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{27}$ .

$x^{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{2}}{3} + x \frac{4}{27} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.21.2

Объединим $x$ и $\frac{4}{27}$ .

$x^{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{2}}{3} + \frac{x \cdot 4}{27} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.22

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$x^{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{2}}{3} + \frac{4 \cdot x}{27} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.23

Умножим ${(x)}^{0}$ на $1$ .

$x^{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{2}}{3} + \frac{4 x}{27} + {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.24

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{2}}{3} + \frac{4 x}{27} + 1 \cdot {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.25

Умножим ${(\frac{1}{3})}^{4}$ на $1$ .

$x^{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{2}}{3} + \frac{4 x}{27} + {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.26

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$x^{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{2}}{3} + \frac{4 x}{27} + \frac{1^{4}}{3^{4}}$

Этап 4.27

Единица в любой степени равна единице.

$x^{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{2}}{3} + \frac{4 x}{27} + \frac{1}{3^{4}}$

Этап 4.28

Возведем $3$ в степень $4$ .

$x^{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{2}}{3} + \frac{4 x}{27} + \frac{1}{81}$