Алгебра Примеры

$x^{12} - 1$

Этап 1

Перепишем $x^{12}$ в виде ${(x^{4})}^{3}$ .

${(x^{4})}^{3} - 1$

Этап 2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

${(x^{4})}^{3} - 1^{3}$

Этап 3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x^{4}$ и $b = 1$ .

$(x^{4} - 1) ({(x^{4})}^{2} + x^{4} \cdot 1 + 1^{2})$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$({(x^{2})}^{2} - 1) ({(x^{4})}^{2} + x^{4} \cdot 1 + 1^{2})$

Этап 4.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) ({(x^{4})}^{2} + x^{4} \cdot 1 + 1^{2})$

Этап 4.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 1$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1) ({(x^{4})}^{2} + x^{4} \cdot 1 + 1^{2})$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}) ({(x^{4})}^{2} + x^{4} \cdot 1 + 1^{2})$

Этап 4.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1)) ({(x^{4})}^{2} + x^{4} \cdot 1 + 1^{2})$

Этап 4.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) ({(x^{4})}^{2} + x^{4} \cdot 1 + 1^{2})$

Этап 4.5

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) ({(x^{4})}^{2} + x^{4} + 1^{2})$

Этап 5

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (x^{4 \cdot 2} + x^{4} + 1^{2})$

Этап 5.2

Умножим $4$ на $2$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (x^{8} + x^{4} + 1^{2})$

Этап 6

Единица в любой степени равна единице.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (x^{8} + x^{4} + 1)$

Этап 7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $x^{8} + x^{4} + 1$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Перепишем средний член.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (x^{8} + 2 x^{4} \cdot 1 - x^{4} + 1)$

Этап 7.1.2

Переставляем члены.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (x^{8} + 2 x^{4} \cdot 1 + 1 - x^{4})$

Этап 7.1.3

Разложим первые три члена на множители, используя правило полного квадрата.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) ({(x^{4} + 1)}^{2} - x^{4})$

Этап 7.1.4

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) ({(x^{4} + 1)}^{2} - {(x^{2})}^{2})$

Этап 7.1.5

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{4} + 1$ и $b = x^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) ((x^{4} + 1 + x^{2}) (x^{4} + 1 - x^{2}))$

Этап 7.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.6.1

Изменим порядок членов.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) ((x^{4} + x^{2} + 1) (x^{4} + 1 - x^{2}))$

Этап 7.1.6.2

Перепишем $x^{4} + x^{2} + 1$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.6.2.1

Перепишем средний член.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) ((x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 - x^{2} + 1) (x^{4} + 1 - x^{2}))$

Этап 7.1.6.2.2

Переставляем члены.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) ((x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 - x^{2}) (x^{4} + 1 - x^{2}))$

Этап 7.1.6.2.3

Разложим первые три члена на множители, используя правило полного квадрата.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (({(x^{2} + 1)}^{2} - x^{2}) (x^{4} + 1 - x^{2}))$

Этап 7.1.6.2.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2} + 1$ и $b = x$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1 + x) (x^{2} + 1 - x) (x^{4} + 1 - x^{2}))$

Этап 7.1.6.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.6.2.5.1

Изменим порядок членов.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + x + 1) (x^{2} + 1 - x) (x^{4} + 1 - x^{2}))$

Этап 7.1.6.2.5.2

Изменим порядок членов.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1) (x^{4} + 1 - x^{2}))$

Этап 7.1.6.3

Изменим порядок членов.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1) (x^{4} - x^{2} + 1))$

Этап 7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1) (x^{4} - x^{2} + 1)$