Алгебра Примеры

$6 x - 7 \sqrt{x} - 3 = 0$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x - 7 x^{\frac{1}{2}} - 3 = 0$

Этап 2

Перепишем $x$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 7 x^{\frac{1}{2}} - 3 = 0$

Этап 3

Пусть $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u$ вместо $x^{\frac{1}{2}}$ для всех.

$6 u^{2} - 7 u - 3 = 0$

Этап 4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 6 \cdot - 3 = - 18$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 u$ .

$6 u^{2} - 7 u - 3 = 0$

Этап 4.1.2

Запишем $- 7$ как $2$ плюс $- 9$

$6 u^{2} + (2 - 9) u - 3 = 0$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 u^{2} + 2 u - 9 u - 3 = 0$

Этап 4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(6 u^{2} + 2 u) - 9 u - 3 = 0$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 u (3 u + 1) - 3 (3 u + 1) = 0$

Этап 4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u + 1$ .

$(3 u + 1) (2 u - 3) = 0$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (2 x^{\frac{1}{2}} - 3) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$

$2 x^{\frac{1}{2}} - 3 = 0$

Этап 7

Приравняем $3 x^{\frac{1}{2}} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $3 x^{\frac{1}{2}} + 1$ к $0$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$

Этап 7.2

Решим $3 x^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{\frac{1}{2}} = - 1$

Этап 7.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Этап 7.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Упростим ${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.1

Применим правило умножения к $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Этап 7.2.3.1.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Этап 7.2.3.1.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Этап 7.2.3.1.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Этап 7.2.3.1.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$9 x^{1} = {(- 1)}^{2}$

Этап 7.2.3.1.1.4

Упростим.

$9 x = {(- 1)}^{2}$

Этап 7.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$9 x = 1$

Этап 7.2.4

Разделим каждый член $9 x = 1$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Разделим каждый член $9 x = 1$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Этап 7.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Этап 7.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{9}$

Этап 8

Приравняем $2 x^{\frac{1}{2}} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $2 x^{\frac{1}{2}} - 3$ к $0$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} - 3 = 0$

Этап 8.2

Решим $2 x^{\frac{1}{2}} - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{\frac{1}{2}} = 3$

Этап 8.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 3^{2}$

Этап 8.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1

Упростим ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1.1

Применим правило умножения к $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 3^{2}$

Этап 8.2.3.1.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 3^{2}$

Этап 8.2.3.1.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Этап 8.2.3.1.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Этап 8.2.3.1.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 x^{1} = 3^{2}$

Этап 8.2.3.1.1.4

Упростим.

$4 x = 3^{2}$

Этап 8.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$4 x = 9$

Этап 8.2.4

Разделим каждый член $4 x = 9$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Разделим каждый член $4 x = 9$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{9}{4}$

Этап 8.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{9}{4}$

Этап 8.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{9}{4}$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (2 x^{\frac{1}{2}} - 3) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{9}, \frac{9}{4}$

Этап 10

Исключим решения, которые не делают $(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (2 x^{\frac{1}{2}} - 3) = 0$ истинным.

$x = \frac{9}{4}$