Алгебра Примеры

$\frac{4 x}{x - 2} + \frac{1}{x} = 5$

Этап 1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$\frac{4 x}{x - 2} + \frac{1}{x} - 5 = 0$

Этап 2

Упростим $\frac{4 x}{x - 2} + \frac{1}{x} - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{4 x}{x - 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 x}{x - 2} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} - 5 = 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4 x}{x - 2} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - 5 = 0$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 2) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{4 x}{x - 2}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 x \cdot x}{(x - 2) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - 5 = 0$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4 x \cdot x}{(x - 2) x} + \frac{x - 2}{x (x - 2)} - 5 = 0$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(x - 2) x$ .

$\frac{4 x \cdot x}{x (x - 2)} + \frac{x - 2}{x (x - 2)} - 5 = 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 x \cdot x + x - 2}{x (x - 2)} - 5 = 0$

Этап 2.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x) + x - 2}{x (x - 2)} - 5 = 0$

Этап 2.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{4 x^{2} + x - 2}{x (x - 2)} - 5 = 0$

Этап 2.6

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x (x - 2)}{x (x - 2)}$ .

$\frac{4 x^{2} + x - 2}{x (x - 2)} - 5 \cdot \frac{x (x - 2)}{x (x - 2)} = 0$

Этап 2.7

Объединим $- 5$ и $\frac{x (x - 2)}{x (x - 2)}$ .

$\frac{4 x^{2} + x - 2}{x (x - 2)} + \frac{- 5 (x (x - 2))}{x (x - 2)} = 0$

Этап 2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 x^{2} + x - 2 - 5 (x (x - 2))}{x (x - 2)} = 0$

Этап 2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} + x - 2 - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 2}{x (x - 2)} = 0$

Этап 2.9.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 x^{2} + x - 2 - 5 (x \cdot x) - 5 x \cdot - 2}{x (x - 2)} = 0$

Этап 2.9.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{4 x^{2} + x - 2 - 5 x^{2} - 5 x \cdot - 2}{x (x - 2)} = 0$

Этап 2.9.3

Умножим $- 2$ на $- 5$ .

$\frac{4 x^{2} + x - 2 - 5 x^{2} + 10 x}{x (x - 2)} = 0$

Этап 2.9.4

Вычтем $5 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + x - 2 + 10 x}{x (x - 2)} = 0$

Этап 2.9.5

Добавим $x$ и $10 x$ .

$\frac{- x^{2} + 11 x - 2}{x (x - 2)} = 0$

Этап 2.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 11 x - 2}{x (x - 2)} = 0$

Этап 2.11

Вынесем множитель $- 1$ из $11 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 11 x) - 2}{x (x - 2)} = 0$

Этап 2.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 11 x)$ .

$\frac{- (x^{2} - 11 x) - 2}{x (x - 2)} = 0$

Этап 2.13

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$\frac{- (x^{2} - 11 x) - 1 (2)}{x (x - 2)} = 0$

Этап 2.14

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 11 x) - 1 (2)$ .

$\frac{- (x^{2} - 11 x + 2)}{x (x - 2)} = 0$

Этап 2.15

Перепишем $- (x^{2} - 11 x + 2)$ в виде $- 1 (x^{2} - 11 x + 2)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 11 x + 2)}{x (x - 2)} = 0$

Этап 2.16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2} - 11 x + 2}{x (x - 2)} = 0$

Этап 3

Приравняем числитель к нулю.

$x^{2} - 11 x + 2 = 0$

Этап 4

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 11$ и $c = 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Возведем $- 11$ в степень $2$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.3

Вычтем $8$ из $121$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{113}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{113}}{2}$

Этап 4.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Возведем $- 11$ в степень $2$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.3

Вычтем $8$ из $121$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{113}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{113}}{2}$

Этап 4.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{11 + \sqrt{113}}{2}$

Этап 4.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Возведем $- 11$ в степень $2$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.3

Вычтем $8$ из $121$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{113}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{113}}{2}$

Этап 4.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{11 - \sqrt{113}}{2}$

Этап 4.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{11 + \sqrt{113}}{2}, \frac{11 - \sqrt{113}}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{11 + \sqrt{113}}{2}, \frac{11 - \sqrt{113}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 10.81507290 \dots, 0.18492709 \dots$