Алгебра Примеры

$| x^{2} - 2 x | = 35$

Этап 1

Вычтем $35$ из обеих частей уравнения.

$| x^{2} - 2 x | - 35 = 0$

Этап 2

Добавим $35$ к обеим частям уравнения.

$| x^{2} - 2 x | = 35$

Этап 3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x^{2} - 2 x = \pm 35$

Этап 4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x^{2} - 2 x = 35$

Этап 4.2

Вычтем $35$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x - 35 = 0$

Этап 4.3

Разложим $x^{2} - 2 x - 35$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 35$ , а сумма — $- 2$ .

$- 7, 5$

Этап 4.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 7) (x + 5) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 4.6

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 4.6.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 7) (x + 5) = 0$ верно.

$x = 7, - 5$

Этап 4.8

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x^{2} - 2 x = - 35$

Этап 4.9

Добавим $35$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 2 x + 35 = 0$

Этап 4.10

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.11

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = 35$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 35)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.12.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.12.1.2.2

Умножим $- 4$ на $35$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 140}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.12.1.3

Вычтем $140$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 136}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.12.1.4

Перепишем $- 136$ в виде $- 1 (136)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 136}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.12.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (136)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{136}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{136}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.12.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{136}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.12.1.7

Перепишем $136$ в виде $2^{2} \cdot 34$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $136$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (34)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.12.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.12.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{34})}{2 \cdot 1}$

Этап 4.12.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{34}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.12.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{34}}{2}$

Этап 4.12.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{34}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{34}$

Этап 4.13

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.13.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.13.1.2.2

Умножим $- 4$ на $35$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 140}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.13.1.3

Вычтем $140$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 136}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.13.1.4

Перепишем $- 136$ в виде $- 1 (136)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 136}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.13.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (136)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{136}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{136}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.13.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{136}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.13.1.7

Перепишем $136$ в виде $2^{2} \cdot 34$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $136$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (34)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.13.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.13.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{34})}{2 \cdot 1}$

Этап 4.13.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{34}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.13.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{34}}{2}$

Этап 4.13.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{34}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{34}$

Этап 4.13.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{34}$

Этап 4.14

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.14.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.14.1.2.2

Умножим $- 4$ на $35$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 140}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.14.1.3

Вычтем $140$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 136}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.14.1.4

Перепишем $- 136$ в виде $- 1 (136)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 136}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.14.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (136)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{136}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{136}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.14.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{136}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.14.1.7

Перепишем $136$ в виде $2^{2} \cdot 34$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $136$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (34)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.14.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.14.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{34})}{2 \cdot 1}$

Этап 4.14.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{34}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.14.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{34}}{2}$

Этап 4.14.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{34}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{34}$

Этап 4.14.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{34}$

Этап 4.15

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + i \sqrt{34}, 1 - i \sqrt{34}$

Этап 4.16

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 7, - 5, 1 + i \sqrt{34}, 1 - i \sqrt{34}$