Алгебра Примеры

$\frac{14}{y + 7} + \frac{2}{y} = \frac{9 y - 7}{y^{2} - 49}$

Этап 1

Вычтем $\frac{9 y - 7}{y^{2} - 49}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{14}{y + 7} + \frac{2}{y} - \frac{9 y - 7}{y^{2} - 49} = 0$

Этап 2

Упростим $\frac{14}{y + 7} + \frac{2}{y} - \frac{9 y - 7}{y^{2} - 49}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\frac{14}{y + 7} + \frac{2}{y} - \frac{9 y - 7}{y^{2} - 7^{2}} = 0$

Этап 2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = 7$ .

$\frac{14}{y + 7} + \frac{2}{y} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{14}{y + 7}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{14}{y + 7} \cdot \frac{y}{y} + \frac{2}{y} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.3

Чтобы записать $\frac{2}{y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y + 7}{y + 7}$ .

$\frac{14}{y + 7} \cdot \frac{y}{y} + \frac{2}{y} \cdot \frac{y + 7}{y + 7} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(y + 7) y$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $\frac{14}{y + 7}$ на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{14 y}{(y + 7) y} + \frac{2}{y} \cdot \frac{y + 7}{y + 7} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.4.2

Умножим $\frac{2}{y}$ на $\frac{y + 7}{y + 7}$ .

$\frac{14 y}{(y + 7) y} + \frac{2 (y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.4.3

Изменим порядок множителей в $(y + 7) y$ .

$\frac{14 y}{y (y + 7)} + \frac{2 (y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{14 y + 2 (y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $14 y + 2 (y + 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $14 y$ .

$\frac{2 (7 y) + 2 (y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.6.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 (7 y) + 2 (y + 7)$ .

$\frac{2 (7 y + y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.6.2

Добавим $7 y$ и $y$ .

$\frac{2 (8 y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.7

Чтобы записать $\frac{2 (8 y + 7)}{y (y + 7)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y - 7}{y - 7}$ .

$\frac{2 (8 y + 7)}{y (y + 7)} \cdot \frac{y - 7}{y - 7} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.8

Чтобы записать $- \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{2 (8 y + 7)}{y (y + 7)} \cdot \frac{y - 7}{y - 7} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} \cdot \frac{y}{y} = 0$

Этап 2.9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $y (y + 7) (y - 7)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $\frac{2 (8 y + 7)}{y (y + 7)}$ на $\frac{y - 7}{y - 7}$ .

$\frac{2 (8 y + 7) (y - 7)}{y (y + 7) (y - 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} \cdot \frac{y}{y} = 0$

Этап 2.9.2

Умножим $\frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)}$ на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{2 (8 y + 7) (y - 7)}{y (y + 7) (y - 7)} - \frac{(9 y - 7) y}{(y + 7) (y - 7) y} = 0$

Этап 2.9.3

Изменим порядок множителей в $(y + 7) (y - 7) y$ .

$\frac{2 (8 y + 7) (y - 7)}{y (y + 7) (y - 7)} - \frac{(9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (8 y + 7) (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 (8 y) + 2 \cdot 7) (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.2

Умножим $8$ на $2$ .

$\frac{(16 y + 2 \cdot 7) (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.3

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{(16 y + 14) (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.4

Развернем $(16 y + 14) (y - 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{16 y (y - 7) + 14 (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{16 y \cdot y + 16 y \cdot - 7 + 14 (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{16 y \cdot y + 16 y \cdot - 7 + 14 y + 14 \cdot - 7 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.5.1.1

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.5.1.1.1

Перенесем $y$ .

$\frac{16 (y \cdot y) + 16 y \cdot - 7 + 14 y + 14 \cdot - 7 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.5.1.1.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{16 y^{2} + 16 y \cdot - 7 + 14 y + 14 \cdot - 7 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.5.1.2

Умножим $- 7$ на $16$ .

$\frac{16 y^{2} - 112 y + 14 y + 14 \cdot - 7 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.5.1.3

Умножим $14$ на $- 7$ .

$\frac{16 y^{2} - 112 y + 14 y - 98 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.5.2

Добавим $- 112 y$ и $14 y$ .

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 + (- (9 y) - - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.7

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 + (- 9 y - - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.8

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 + (- 9 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.9

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 - 9 y \cdot y + 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.10

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.10.1

Перенесем $y$ .

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 - 9 (y \cdot y) + 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.10.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 - 9 y^{2} + 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.11

Вычтем $9 y^{2}$ из $16 y^{2}$ .

$\frac{7 y^{2} - 98 y - 98 + 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.12

Добавим $- 98 y$ и $7 y$ .

$\frac{7 y^{2} - 91 y - 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.13

Перепишем $7 y^{2} - 91 y - 98$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.13.1

Вынесем множитель $7$ из $7 y^{2} - 91 y - 98$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.13.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7 y^{2}$ .

$\frac{7 (y^{2}) - 91 y - 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.13.1.2

Вынесем множитель $7$ из $- 91 y$ .

$\frac{7 (y^{2}) + 7 (- 13 y) - 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.13.1.3

Вынесем множитель $7$ из $- 98$ .

$\frac{7 y^{2} + 7 (- 13 y) + 7 \cdot - 14}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.13.1.4

Вынесем множитель $7$ из $7 y^{2} + 7 (- 13 y)$ .

$\frac{7 (y^{2} - 13 y) + 7 \cdot - 14}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.13.1.5

Вынесем множитель $7$ из $7 (y^{2} - 13 y) + 7 \cdot - 14$ .

$\frac{7 (y^{2} - 13 y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.13.2

Разложим $y^{2} - 13 y - 14$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.13.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 14$ , а сумма — $- 13$ .

$- 14, 1$

Этап 2.11.13.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{7 ((y - 14) (y + 1))}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

$\frac{7 (y - 14) (y + 1)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 3

Приравняем числитель к нулю.

$7 (y - 14) (y + 1) = 0$

Этап 4

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 14 = 0$

$y + 1 = 0$

Этап 4.2

Приравняем $y - 14$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Приравняем $y - 14$ к $0$ .

$y - 14 = 0$

Этап 4.2.2

Добавим $14$ к обеим частям уравнения.

$y = 14$

Этап 4.3

Приравняем $y + 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $y + 1$ к $0$ .

$y + 1 = 0$

Этап 4.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = - 1$

Этап 4.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $7 (y - 14) (y + 1) = 0$ верно.

$y = 14, - 1$