Алгебра Примеры

$\frac{12}{v^{2} - 16} - \frac{24}{v - 4} = 3$

Этап 1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$\frac{12}{v^{2} - 16} - \frac{24}{v - 4} - 3 = 0$

Этап 2

Упростим $\frac{12}{v^{2} - 16} - \frac{24}{v - 4} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{12}{v^{2} - 4^{2}} - \frac{24}{v - 4} - 3 = 0$

Этап 2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = v$ и $b = 4$ .

$\frac{12}{(v + 4) (v - 4)} - \frac{24}{v - 4} - 3 = 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{24}{v - 4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{v + 4}{v + 4}$ .

$\frac{12}{(v + 4) (v - 4)} - \frac{24}{v - 4} \cdot \frac{v + 4}{v + 4} - 3 = 0$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(v + 4) (v - 4)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{24}{v - 4}$ на $\frac{v + 4}{v + 4}$ .

$\frac{12}{(v + 4) (v - 4)} - \frac{24 (v + 4)}{(v - 4) (v + 4)} - 3 = 0$

Этап 2.3.2

Изменим порядок множителей в $(v - 4) (v + 4)$ .

$\frac{12}{(v + 4) (v - 4)} - \frac{24 (v + 4)}{(v + 4) (v - 4)} - 3 = 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{12 - 24 (v + 4)}{(v + 4) (v - 4)} - 3 = 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $12$ из $12 - 24 (v + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Вынесем множитель $12$ из $12$ .

$\frac{12 (1) - 24 (v + 4)}{(v + 4) (v - 4)} - 3 = 0$

Этап 2.5.1.2

Вынесем множитель $12$ из $- 24 (v + 4)$ .

$\frac{12 (1) + 12 (- 2 (v + 4))}{(v + 4) (v - 4)} - 3 = 0$

Этап 2.5.1.3

Вынесем множитель $12$ из $12 (1) + 12 (- 2 (v + 4))$ .

$\frac{12 (1 - 2 (v + 4))}{(v + 4) (v - 4)} - 3 = 0$

Этап 2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 (1 - 2 v - 2 \cdot 4)}{(v + 4) (v - 4)} - 3 = 0$

Этап 2.5.3

Умножим $- 2$ на $4$ .

$\frac{12 (1 - 2 v - 8)}{(v + 4) (v - 4)} - 3 = 0$

Этап 2.5.4

Вычтем $8$ из $1$ .

$\frac{12 (- 2 v - 7)}{(v + 4) (v - 4)} - 3 = 0$

Этап 2.6

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{(v + 4) (v - 4)}{(v + 4) (v - 4)}$ .

$\frac{12 (- 2 v - 7)}{(v + 4) (v - 4)} - 3 \cdot \frac{(v + 4) (v - 4)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.7

Объединим $- 3$ и $\frac{(v + 4) (v - 4)}{(v + 4) (v - 4)}$ .

$\frac{12 (- 2 v - 7)}{(v + 4) (v - 4)} + \frac{- 3 ((v + 4) (v - 4))}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{12 (- 2 v - 7) - 3 ((v + 4) (v - 4))}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Вынесем множитель $3$ из $12 (- 2 v - 7) - 3 (v + 4) (v - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Вынесем множитель $3$ из $12 (- 2 v - 7)$ .

$\frac{3 (4 (- 2 v - 7)) - 3 (v + 4) (v - 4)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.9.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3 (v + 4) (v - 4)$ .

$\frac{3 (4 (- 2 v - 7)) + 3 (- (v + 4) (v - 4))}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.9.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (4 (- 2 v - 7)) + 3 (- (v + 4) (v - 4))$ .

$\frac{3 (4 (- 2 v - 7) - (v + 4) (v - 4))}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (4 (- 2 v) + 4 \cdot - 7 - (v + 4) (v - 4))}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.9.3

Умножим $- 2$ на $4$ .

$\frac{3 (- 8 v + 4 \cdot - 7 - (v + 4) (v - 4))}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.9.4

Умножим $4$ на $- 7$ .

$\frac{3 (- 8 v - 28 - (v + 4) (v - 4))}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.9.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (- 8 v - 28 + (- v - 1 \cdot 4) (v - 4))}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.9.6

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{3 (- 8 v - 28 + (- v - 4) (v - 4))}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.9.7

Развернем $(- v - 4) (v - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (- 8 v - 28 - v (v - 4) - 4 (v - 4))}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.9.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (- 8 v - 28 - v \cdot v - v \cdot - 4 - 4 (v - 4))}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.9.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (- 8 v - 28 - v \cdot v - v \cdot - 4 - 4 v - 4 \cdot - 4)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.9.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.8.1.1

Умножим $v$ на $v$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.8.1.1.1

Перенесем $v$ .

$\frac{3 (- 8 v - 28 - (v \cdot v) - v \cdot - 4 - 4 v - 4 \cdot - 4)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.9.8.1.1.2

Умножим $v$ на $v$ .

$\frac{3 (- 8 v - 28 - v^{2} - v \cdot - 4 - 4 v - 4 \cdot - 4)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.9.8.1.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{3 (- 8 v - 28 - v^{2} + 4 v - 4 v - 4 \cdot - 4)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.9.8.1.3

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$\frac{3 (- 8 v - 28 - v^{2} + 4 v - 4 v + 16)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.9.8.2

Вычтем $4 v$ из $4 v$ .

$\frac{3 (- 8 v - 28 - v^{2} + 0 + 16)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.9.8.3

Добавим $- v^{2}$ и $0$ .

$\frac{3 (- 8 v - 28 - v^{2} + 16)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.9.9

Добавим $- 28$ и $16$ .

$\frac{3 (- 8 v - v^{2} - 12)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.9.10

Изменим порядок членов.

$\frac{3 (- v^{2} - 8 v - 12)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.9.11

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.11.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 12 = 12$ , а сумма — $b = - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.11.1.1

Вынесем множитель $- 8$ из $- 8 v$ .

$\frac{3 (- v^{2} - 8 (v) - 12)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.9.11.1.2

Запишем $- 8$ как $- 2$ плюс $- 6$

$\frac{3 (- v^{2} + (- 2 - 6) v - 12)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.9.11.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (- v^{2} - 2 v - 6 v - 12)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.9.11.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.11.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{3 ((- v^{2} - 2 v) - 6 v - 12)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.9.11.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{3 (v (- v - 2) + 6 (- v - 2))}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.9.11.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- v - 2$ .

$\frac{3 ((- v - 2) (v + 6))}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

$\frac{3 (- v - 2) (v + 6)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- v$ .

$\frac{3 (- (v) - 2) (v + 6)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.11

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$\frac{3 (- (v) - 1 (2)) (v + 6)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (v) - 1 (2)$ .

$\frac{3 (- (v + 2)) (v + 6)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.13

Перепишем $- (v + 2)$ в виде $- 1 (v + 2)$ .

$\frac{3 (- 1 (v + 2)) (v + 6)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(3 (v + 2)) (v + 6)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 2.15

Изменим порядок множителей в $- \frac{(3 (v + 2)) (v + 6)}{(v + 4) (v - 4)}$ .

$- \frac{3 (v + 2) (v + 6)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Этап 3

Приравняем числитель к нулю.

$3 (v + 2) (v + 6) = 0$

Этап 4

Решим уравнение относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$v + 2 = 0$

$v + 6 = 0$

Этап 4.2

Приравняем $v + 2$ к $0$ , затем решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Приравняем $v + 2$ к $0$ .

$v + 2 = 0$

Этап 4.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$v = - 2$

Этап 4.3

Приравняем $v + 6$ к $0$ , затем решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $v + 6$ к $0$ .

$v + 6 = 0$

Этап 4.3.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$v = - 6$

Этап 4.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 (v + 2) (v + 6) = 0$ верно.

$v = - 2, - 6$