Алгебра Примеры

$\frac{4}{x^{2} - 8 x + 12} = \frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 6}$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $\frac{x}{x - 2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{4}{x^{2} - 8 x + 12} - \frac{x}{x - 2} = \frac{1}{x - 6}$

Этап 1.2

Вычтем $\frac{1}{x - 6}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{4}{x^{2} - 8 x + 12} - \frac{x}{x - 2} - \frac{1}{x - 6} = 0$

Этап 2

Упростим $\frac{4}{x^{2} - 8 x + 12} - \frac{x}{x - 2} - \frac{1}{x - 6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $x^{2} - 8 x + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $- 8$ .

$- 6, - 2$

Этап 2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{4}{(x - 6) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2} - \frac{1}{x - 6} = 0$

Этап 2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $\frac{x}{x - 2}$ на $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{4}{(x - 6) (x - 2)} - (\frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x - 6}{x - 6}) - \frac{1}{x - 6} = 0$

Этап 2.2.2

Умножим $\frac{x}{x - 2}$ на $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{4}{(x - 6) (x - 2)} - \frac{x (x - 6)}{(x - 2) (x - 6)} - \frac{1}{x - 6} = 0$

Этап 2.2.3

Умножим $\frac{1}{x - 6}$ на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4}{(x - 6) (x - 2)} - \frac{x (x - 6)}{(x - 2) (x - 6)} - (\frac{1}{x - 6} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}) = 0$

Этап 2.2.4

Умножим $\frac{1}{x - 6}$ на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4}{(x - 6) (x - 2)} - \frac{x (x - 6)}{(x - 2) (x - 6)} - \frac{x - 2}{(x - 6) (x - 2)} = 0$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 - x (x - 6) - (x - 2)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Этап 2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 - x \cdot x - x \cdot - 6 - (x - 2)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Этап 2.4.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 - (x \cdot x) - x \cdot - 6 - (x - 2)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Этап 2.4.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{4 - x^{2} - x \cdot - 6 - (x - 2)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Этап 2.4.3

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$\frac{4 - x^{2} + 6 x - (x - 2)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Этап 2.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 - x^{2} + 6 x - x - - 2}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Этап 2.4.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{4 - x^{2} + 6 x - x + 2}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Этап 2.5

Добавим $4$ и $2$ .

$\frac{- x^{2} + 6 x - x + 6}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Этап 2.6

Вычтем $x$ из $6 x$ .

$\frac{- x^{2} + 5 x + 6}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Этап 2.7

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 6 = - 6$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$\frac{- x^{2} + 5 (x) + 6}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Этап 2.7.1.2

Запишем $5$ как $- 1$ плюс $6$

$\frac{- x^{2} + (- 1 + 6) x + 6}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Этап 2.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{2} - 1 x + 6 x + 6}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Этап 2.7.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) + 6 x + 6}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Этап 2.7.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (- x - 1) - 6 (- x - 1)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Этап 2.7.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 6)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Этап 2.8

Сократим общий множитель $x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(- x - 1) (x - 6)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Этап 2.8.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- x - 1}{x - 2} = 0$

Этап 2.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (x) - 1}{x - 2} = 0$

Этап 2.10

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- (x) - 1 (1)}{x - 2} = 0$

Этап 2.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1)}{x - 2} = 0$

Этап 2.12

Перепишем $- (x + 1)$ в виде $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1)}{x - 2} = 0$

Этап 2.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x + 1}{x - 2} = 0$

Этап 3

Приравняем числитель к нулю.

$x + 1 = 0$

Этап 4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$