Алгебра Примеры

$\frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{1}{x + 2} = 3$

Этап 1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{1}{x + 2} - 3 = 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{1}{x + 2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 2^{2}} + \frac{1}{x + 2} - 3 = 0$

Этап 2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{x + 2} - 3 = 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{1}{x + 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{x + 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - 3 = 0$

Этап 2.3

Умножим $\frac{1}{x + 2}$ на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} - 3 = 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x + x - 2}{(x + 2) (x - 2)} - 3 = 0$

Этап 2.5

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{2 x - 2}{(x + 2) (x - 2)} - 3 = 0$

Этап 2.6

Вынесем множитель $2$ из $2 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 2}{(x + 2) (x - 2)} - 3 = 0$

Этап 2.6.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{(x + 2) (x - 2)} - 3 = 0$

Этап 2.6.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} - 3 = 0$

Этап 2.7

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} - 3 \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.8

Объединим $- 3$ и $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 3 ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (x - 1) - 3 ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 - 3 (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.10.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x - 2 + (- 3 x - 3 \cdot 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.10.4

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{2 x - 2 + (- 3 x - 6) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.10.5

Развернем $(- 3 x - 6) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x - 2 - 3 x (x - 2) - 6 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.10.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x - 2 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 2 - 6 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.10.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x - 2 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 2 - 6 x - 6 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.10.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.6.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.6.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 2 - 6 x - 6 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.10.6.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 x^{2} - 3 x \cdot - 2 - 6 x - 6 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.10.6.1.2

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 x^{2} + 6 x - 6 x - 6 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.10.6.1.3

Умножим $- 6$ на $- 2$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 x^{2} + 6 x - 6 x + 12}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.10.6.2

Вычтем $6 x$ из $6 x$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 x^{2} + 0 + 12}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.10.6.3

Добавим $- 3 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 x^{2} + 12}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.10.7

Добавим $- 2$ и $12$ .

$\frac{2 x - 3 x^{2} + 10}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.10.8

Изменим порядок членов.

$\frac{- 3 x^{2} + 2 x + 10}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$\frac{- (3 x^{2}) + 2 x + 10}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.12

Вынесем множитель $- 1$ из $2 x$ .

$\frac{- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 10}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.13

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ .

$\frac{- (3 x^{2} - 2 x) + 10}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.14

Перепишем $10$ в виде $- 1 (- 10)$ .

$\frac{- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 10)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.15

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{- (3 x^{2} - 2 x - 10)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.16

Перепишем $- (3 x^{2} - 2 x - 10)$ в виде $- 1 (3 x^{2} - 2 x - 10)$ .

$\frac{- 1 (3 x^{2} - 2 x - 10)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 x^{2} - 2 x - 10}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 3

Приравняем числитель к нулю.

$3 x^{2} - 2 x - 10 = 0$

Этап 4

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.2

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 2$ и $c = - 10$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 10)}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 10}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 10}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.3.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 10$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 120}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.3.1.3

Добавим $4$ и $120$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.3.1.4

Перепишем $124$ в виде $2^{2} \cdot 31$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $124$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$

Этап 4.3.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 10}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 10}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.4.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 10$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 120}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.4.1.3

Добавим $4$ и $120$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.4.1.4

Перепишем $124$ в виде $2^{2} \cdot 31$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $124$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$

Этап 4.4.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 10}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 10}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.5.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 10$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 120}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.5.1.3

Добавим $4$ и $120$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.5.1.4

Перепишем $124$ в виде $2^{2} \cdot 31$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $124$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$

Этап 4.5.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{31}}{3}$

Этап 4.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + \sqrt{31}}{3}, \frac{1 - \sqrt{31}}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1 + \sqrt{31}}{3}, \frac{1 - \sqrt{31}}{3}$

Десятичная форма:

$x = 2.18925478 \dots, - 1.52258812 \dots$