Алгебра Примеры

$\sqrt{x} = x - 20$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{x} - x = - 20$

Этап 1.2

Добавим $20$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{x} - x + 20 = 0$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} - x + 20 = 0$

Этап 3

Перепишем $x$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 20 = 0$

Этап 4

Пусть $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u$ вместо $x^{\frac{1}{2}}$ для всех.

$u - u^{2} + 20 = 0$

Этап 5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок членов.

$- u^{2} + u + 20 = 0$

Этап 5.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 20 = - 20$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим на $1$ .

$- u^{2} + 1 u + 20 = 0$

Этап 5.2.2

Запишем $1$ как $- 4$ плюс $5$

$- u^{2} + (- 4 + 5) u + 20 = 0$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- u^{2} - 4 u + 5 u + 20 = 0$

Этап 5.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(- u^{2} - 4 u) + 5 u + 20 = 0$

Этап 5.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (- u - 4) - 5 (- u - 4) = 0$

Этап 5.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- u - 4$ .

$(- u - 4) (u - 5) = 0$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(- x^{\frac{1}{2}} - 4) (x^{\frac{1}{2}} - 5) = 0$

Этап 7

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{\frac{1}{2}} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$(- (x^{\frac{1}{2}}) - 4) (x^{\frac{1}{2}} - 5) = 0$

Этап 7.2

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$(- (x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 4) (x^{\frac{1}{2}} - 5) = 0$

Этап 7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{\frac{1}{2}}) - 1 (4)$ .

$- (x^{\frac{1}{2}} + 4) (x^{\frac{1}{2}} - 5) = 0$

Этап 8

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$

$x^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$

Этап 9

Приравняем $x^{\frac{1}{2}} + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $x^{\frac{1}{2}} + 4$ к $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$

Этап 9.2

Решим $x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x^{\frac{1}{2}} = - 4$

Этап 9.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Этап 9.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4)}^{2}$

Этап 9.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4)}^{2}$

Этап 9.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(- 4)}^{2}$

Этап 9.2.3.1.1.2

Упростим.

$x = {(- 4)}^{2}$

Этап 9.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.2.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = 16$

Этап 10

Приравняем $x^{\frac{1}{2}} - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $x^{\frac{1}{2}} - 5$ к $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$

Этап 10.2

Решим $x^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x^{\frac{1}{2}} = 5$

Этап 10.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 5^{2}$

Этап 10.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{2}$

Этап 10.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{2}$

Этап 10.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 5^{2}$

Этап 10.2.3.1.1.2

Упростим.

$x = 5^{2}$

Этап 10.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.2.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$x = 25$

Этап 11

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x^{\frac{1}{2}} + 4) (x^{\frac{1}{2}} - 5) = 0$ верно.

$x = 16, 25$

Этап 12

Исключим решения, которые не делают $- (x^{\frac{1}{2}} + 4) (x^{\frac{1}{2}} - 5) = 0$ истинным.

$x = 25$