Алгебра Примеры

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{8}}{\sqrt{7} + \sqrt{8}}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{4 (2)}}{\sqrt{7} + \sqrt{8}}$

Этап 1.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{7} + \sqrt{8}}$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{\sqrt{7} - (2 \sqrt{2})}{\sqrt{7} + \sqrt{8}}$

Этап 1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} + \sqrt{8}}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} + \sqrt{4 (2)}}$

Этап 2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} + \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} + 2 \sqrt{2}}$

Этап 3

Умножим $\frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} + 2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} + 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}$

Этап 4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} + 2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2})}{(\sqrt{7} + 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2})}$

Этап 4.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2})}{{\sqrt{7}}^{2} - 2 \sqrt{14} + 2 \sqrt{14} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим.

$\frac{(\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2})}{- 1}$

Этап 4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{(\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2})}{- 1}$ .

$- 1 \cdot ((\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}))$

Этап 4.4.2

Перепишем $- 1 \cdot ((\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}))$ в виде $- ((\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}))$ .

$- ((\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}))$

Этап 5

Развернем $(\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- (\sqrt{7} (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}))$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- (\sqrt{7} \sqrt{7} + \sqrt{7} (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}))$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (\sqrt{7} \sqrt{7} + \sqrt{7} (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{7} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}))$

Этап 6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- (\sqrt{7 \cdot 7} + \sqrt{7} (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{7} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}))$

Этап 6.1.2

Умножим $7$ на $7$ .

$- (\sqrt{49} + \sqrt{7} (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{7} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}))$

Этап 6.1.3

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$- (\sqrt{7^{2}} + \sqrt{7} (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{7} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}))$

Этап 6.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- (7 + \sqrt{7} (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{7} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}))$

Этап 6.1.5

Умножим $\sqrt{7} (- 2 \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- (7 - 2 \sqrt{7 \cdot 2} - 2 \sqrt{2} \sqrt{7} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}))$

Этап 6.1.5.2

Умножим $7$ на $2$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{2} \sqrt{7} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}))$

Этап 6.1.6

Умножим $- 2 \sqrt{2} \sqrt{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{7 \cdot 2} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}))$

Этап 6.1.6.2

Умножим $7$ на $2$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}))$

Этап 6.1.7

Умножим $- 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.7.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 \sqrt{2} \sqrt{2})$

Этап 6.1.7.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}))$

Этап 6.1.7.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}))$

Этап 6.1.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1})$

Этап 6.1.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 {\sqrt{2}}^{2})$

Этап 6.1.8

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Этап 6.1.8.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Этап 6.1.8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})$

Этап 6.1.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.8.4.1

Сократим общий множитель.

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})$

Этап 6.1.8.4.2

Перепишем это выражение.

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 \cdot 2^{1})$

Этап 6.1.8.5

Найдем экспоненту.

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 \cdot 2)$

Этап 6.1.9

Умножим $4$ на $2$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 8)$

Этап 6.2

Добавим $7$ и $8$ .

$- (15 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14})$

Этап 6.3

Вычтем $2 \sqrt{14}$ из $- 2 \sqrt{14}$ .

$- (15 - 4 \sqrt{14})$

Этап 7

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 \cdot 15 - (- 4 \sqrt{14})$

Этап 8

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $15$ .

$- 15 - (- 4 \sqrt{14})$

Этап 8.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$- 15 + 4 \sqrt{14}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- 15 + 4 \sqrt{14}$

Десятичная форма:

$- 0.03337045 \dots$