Алгебра Примеры

$2 e^{2 x} - 5 e^{x} - 3 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $e^{2 x}$ в виде ${(e^{x})}^{2}$ .

$2 {(e^{x})}^{2} - 5 e^{x} - 3 = 0$

Этап 1.2

Пусть $u = e^{x}$ . Подставим $u$ вместо $e^{x}$ для всех.

$2 u^{2} - 5 u - 3 = 0$

Этап 1.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 u$ .

$2 u^{2} - 5 u - 3 = 0$

Этап 1.3.1.2

Запишем $- 5$ как $1$ плюс $- 6$

$2 u^{2} + (1 - 6) u - 3 = 0$

Этап 1.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 u^{2} + 1 u - 6 u - 3 = 0$

Этап 1.3.1.4

Умножим $u$ на $1$ .

$2 u^{2} + u - 6 u - 3 = 0$

Этап 1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 u^{2} + u) - 6 u - 3 = 0$

Этап 1.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (2 u + 1) - 3 (2 u + 1) = 0$

Этап 1.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (u - 3) = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на $e^{x}$ .

$(2 e^{x} + 1) (e^{x} - 3) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 e^{x} + 1 = 0$

$e^{x} - 3 = 0$

Этап 3

Приравняем $2 e^{x} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $2 e^{x} + 1$ к $0$ .

$2 e^{x} + 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $2 e^{x} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 e^{x} = - 1$

Этап 3.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (2 e^{x}) = \ln (- 1)$

Этап 3.2.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- 1)$ не определено.

Неопределенные

Этап 3.2.4

Нет решения для $2 e^{x} = - 1$

Нет решения

Этап 4

Приравняем $e^{x} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $e^{x} - 3$ к $0$ .

$e^{x} - 3 = 0$

Этап 4.2

Решим $e^{x} - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$e^{x} = 3$

Этап 4.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

Этап 4.2.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (3)$

Этап 4.2.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3)$

Этап 4.2.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (3)$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 e^{x} + 1) (e^{x} - 3) = 0$ верно.

$x = \ln (3)$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \ln (3)$

Десятичная форма:

$x = 1.09861228 \dots$