Алгебра Примеры

$\sqrt{x + 2} \leq x - 10$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{x + 2}}^{2} \leq {(x - 10)}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 2}$ в виде ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(x - 10)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(x - 10)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(x - 10)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 2)}^{1} \leq {(x - 10)}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$x + 2 \leq {(x - 10)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(x - 10)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(x - 10)}^{2}$ в виде $(x - 10) (x - 10)$ .

$x + 2 \leq (x - 10) (x - 10)$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(x - 10) (x - 10)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 2 \leq x (x - 10) - 10 (x - 10)$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 2 \leq x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 (x - 10)$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 2 \leq x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x + 2 \leq x^{2} + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10$

Этап 2.3.1.3.1.2

Перенесем $- 10$ влево от $x$ .

$x + 2 \leq x^{2} - 10 \cdot x - 10 x - 10 \cdot - 10$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $- 10$ на $- 10$ .

$x + 2 \leq x^{2} - 10 x - 10 x + 100$

Этап 2.3.1.3.2

Вычтем $10 x$ из $- 10 x$ .

$x + 2 \leq x^{2} - 20 x + 100$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем таким образом, чтобы $x$ оказалось в левой части неравенства.

$x^{2} - 20 x + 100 \geq x + 2$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей неравенства.

$x^{2} - 20 x + 100 - x \geq 2$

Этап 3.2.2

Вычтем $x$ из $- 20 x$ .

$x^{2} - 21 x + 100 \geq 2$

Этап 3.3

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - 21 x + 100 = 2$

Этап 3.4

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 21 x + 100 - 2 = 0$

Этап 3.5

Вычтем $2$ из $100$ .

$x^{2} - 21 x + 98 = 0$

Этап 3.6

Разложим $x^{2} - 21 x + 98$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $98$ , а сумма — $- 21$ .

$- 14, - 7$

Этап 3.6.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 14) (x - 7) = 0$

Этап 3.7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 14 = 0$

$x - 7 = 0$

Этап 3.8

Приравняем $x - 14$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $x - 14$ к $0$ .

$x - 14 = 0$

Этап 3.8.2

Добавим $14$ к обеим частям уравнения.

$x = 14$

Этап 3.9

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 3.9.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 3.10

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 14) (x - 7) = 0$ верно.

$x = 14, 7$

Этап 4

Найдем область определения $\sqrt{x + 2} - x + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x + 2}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + 2 \geq 0$

Этап 4.2

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 2$

Этап 4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 2, \infty)$

Этап 5

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \geq 14$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x \geq 14$

Интервальное представление:

$[14, \infty)$

Этап 7