Алгебра Примеры

$\log_{2} (x) + \log_{2} (x - 1) = \log_{2} (2)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (x (x - 1)) = \log_{2} (2)$

Этап 1.2

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot - 1) = \log_{2} (2)$

Этап 1.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot - 1) = \log_{2} (2)$

Этап 1.2.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\log_{2} (x^{2} - 1 \cdot x) = \log_{2} (2)$

Этап 1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\log_{2} (x^{2} - x) = \log_{2} (2)$

Этап 2

Логарифм $2$ по основанию $2$ равен $1$ .

$\log_{2} (x^{2} - x) = 1$

Этап 3

Перепишем $\log_{2} (x^{2} - x) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{1} = x^{2} - x$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} - x = 2^{1}$ .

$x^{2} - x = 2$

Этап 4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - x - 2 = 0$

Этап 4.3

Разложим $x^{2} - x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 4.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 2) (x + 1) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 2, - 1$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\log_{2} (x) + \log_{2} (x - 1) = \log_{2} (2)$ истинным.

$x = 2$