Алгебра Примеры

$x^{2} - y^{2} > 9$

Этап 1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей неравенства.

$- y^{2} > 9 - x^{2}$

Этап 2

Разделим каждый член $- y^{2} > 9 - x^{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $- y^{2} > 9 - x^{2}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- y^{2}}{- 1} < \frac{9}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y^{2}}{1} < \frac{9}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Этап 2.2.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} < \frac{9}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разделим $9$ на $- 1$ .

$y^{2} < - 9 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Этап 2.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y^{2} < - 9 + \frac{x^{2}}{1}$

Этап 2.3.1.3

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$y^{2} < - 9 + x^{2}$

Этап 3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{y^{2}} < \sqrt{- 9 + x^{2}}$

Этап 4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| y | < \sqrt{- 9 + x^{2}}$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $\sqrt{- 9 + x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$| y | < \sqrt{- 3^{2} + x^{2}}$

Этап 4.2.1.1.2

Изменим порядок $- 3^{2}$ и $x^{2}$ .

$| y | < \sqrt{x^{2} - 3^{2}}$

Этап 4.2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$| y | < \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 5

Запишем $| y | < \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$y \geq 0$

Этап 5.2

В части, где $y$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$y < \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 5.3

Найдем область определения $y < \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ и пересечение с $y \geq 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Найдем область определения $y < \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$

Этап 5.3.1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Упростим $(x + 3) (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1.1

Развернем $(x + 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 3) + 3 (x - 3) \geq 0$

Этап 5.3.1.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) \geq 0$

Этап 5.3.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 \geq 0$

Этап 5.3.1.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1.2.1

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1.2.1.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 3$ и $3 x$ .

$x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 \geq 0$

Этап 5.3.1.2.1.2.1.2

Добавим $- 3 x$ и $3 x$ .

$x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 \geq 0$

Этап 5.3.1.2.1.2.1.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$x \cdot x + 3 \cdot - 3 \geq 0$

Этап 5.3.1.2.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1.2.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 3 \cdot - 3 \geq 0$

Этап 5.3.1.2.1.2.2.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$x^{2} - 9 \geq 0$

Этап 5.3.1.2.2

Добавим $9$ к обеим частям неравенства.

$x^{2} \geq 9$

Этап 5.3.1.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{9}$

Этап 5.3.1.2.4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.4.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \geq \sqrt{9}$

Этап 5.3.1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.4.2.1

Упростим $\sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.4.2.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$| x | \geq \sqrt{3^{2}}$

Этап 5.3.1.2.4.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \geq | 3 |$

Этап 5.3.1.2.4.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$| x | \geq 3$

Этап 5.3.1.2.5

Запишем $| x | \geq 3$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 5.3.1.2.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \geq 3$

Этап 5.3.1.2.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 5.3.1.2.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \geq 3$

Этап 5.3.1.2.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \geq 3 & x \geq 0 \\ - x \geq 3 & x < 0 \end{cases}$

Этап 5.3.1.2.6

Найдем пересечение $x \geq 3$ и $x \geq 0$ .

$x \geq 3$

Этап 5.3.1.2.7

Разделим каждый член $- x \geq 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.7.1

Разделим каждый член $- x \geq 3$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{3}{- 1}$

Этап 5.3.1.2.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.7.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{3}{- 1}$

Этап 5.3.1.2.7.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{3}{- 1}$

Этап 5.3.1.2.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.7.3.1

Разделим $3$ на $- 1$ .

$x \leq - 3$

Этап 5.3.1.2.8

Найдем объединение решений.

$x \leq - 3$ или $x \geq 3$

Этап 5.3.1.3

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$

Этап 5.3.2

Найдем пересечение $y \geq 0$ и $(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$ .

$y \geq 3$

Этап 5.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$y < 0$

Этап 5.5

В части, где $y$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- y < \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 5.6

Найдем область определения $- y < \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ и пересечение с $y < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Найдем область определения $- y < \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$

Этап 5.6.1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.1

Упростим $(x + 3) (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.1.1

Развернем $(x + 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 3) + 3 (x - 3) \geq 0$

Этап 5.6.1.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) \geq 0$

Этап 5.6.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 \geq 0$

Этап 5.6.1.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.1.2.1

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.1.2.1.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 3$ и $3 x$ .

$x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 \geq 0$

Этап 5.6.1.2.1.2.1.2

Добавим $- 3 x$ и $3 x$ .

$x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 \geq 0$

Этап 5.6.1.2.1.2.1.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$x \cdot x + 3 \cdot - 3 \geq 0$

Этап 5.6.1.2.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.1.2.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 3 \cdot - 3 \geq 0$

Этап 5.6.1.2.1.2.2.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$x^{2} - 9 \geq 0$

Этап 5.6.1.2.2

Добавим $9$ к обеим частям неравенства.

$x^{2} \geq 9$

Этап 5.6.1.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{9}$

Этап 5.6.1.2.4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.4.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \geq \sqrt{9}$

Этап 5.6.1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.4.2.1

Упростим $\sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.4.2.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$| x | \geq \sqrt{3^{2}}$

Этап 5.6.1.2.4.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \geq | 3 |$

Этап 5.6.1.2.4.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$| x | \geq 3$

Этап 5.6.1.2.5

Запишем $| x | \geq 3$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 5.6.1.2.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \geq 3$

Этап 5.6.1.2.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 5.6.1.2.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \geq 3$

Этап 5.6.1.2.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \geq 3 & x \geq 0 \\ - x \geq 3 & x < 0 \end{cases}$

Этап 5.6.1.2.6

Найдем пересечение $x \geq 3$ и $x \geq 0$ .

$x \geq 3$

Этап 5.6.1.2.7

Разделим каждый член $- x \geq 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.7.1

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{3}{- 1}$

Этап 5.6.1.2.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.7.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{3}{- 1}$

Этап 5.6.1.2.7.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{3}{- 1}$

Этап 5.6.1.2.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.7.3.1

Разделим $3$ на $- 1$ .

$x \leq - 3$

Этап 5.6.1.2.8

Найдем объединение решений.

$x \leq - 3$ или $x \geq 3$

Этап 5.6.1.3

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$

Этап 5.6.2

Найдем пересечение $y < 0$ и $(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$ .

$y \leq - 3$

Этап 5.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} y < \sqrt{(x + 3) (x - 3)} & y \geq 3 \\ - y < \sqrt{(x + 3) (x - 3)} & y \leq - 3 \end{cases}$

Этап 6

Найдем пересечение $y < \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ и $y \geq 3$ .

$3 \leq y < \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 7

Решим $- y < \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ , когда $y \leq - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $- y < \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Разделим каждый член $- y < \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- y}{- 1} > \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{- 1}$

Этап 7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} > \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{- 1}$

Этап 7.1.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y > \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{- 1}$

Этап 7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{- 1}$ .

$y > - 1 \cdot \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 7.1.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ в виде $- \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ .

$y > - \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 7.2

Найдем пересечение $y > - \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ и $y \leq - 3$ .

$- \sqrt{(x + 3) (x - 3)} < y \leq - 3$

Этап 8

Найдем объединение решений.

$3 \leq y < \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ или $- \sqrt{(x + 3) (x - 3)} < y \leq - 3$

Этап 9