Алгебра Примеры

$2 \ln (e^{\ln (2 x)}) - \ln (e^{\ln (10 x)}) = \ln (30)$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $\ln (2 x)$ из степени.

$2 (\ln (2 x) \ln (e)) - \ln (e^{\ln (10 x)}) = \ln (30)$

Этап 1.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$2 (\ln (2 x) \cdot 1) - \ln (e^{\ln (10 x)}) = \ln (30)$

Этап 1.3

Умножим $\ln (2 x)$ на $1$ .

$2 \ln (2 x) - \ln (e^{\ln (10 x)}) = \ln (30)$

Этап 1.4

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $\ln (10 x)$ из степени.

$2 \ln (2 x) - (\ln (10 x) \ln (e)) = \ln (30)$

Этап 1.5

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$2 \ln (2 x) - (\ln (10 x) \cdot 1) = \ln (30)$

Этап 1.6

Умножим $\ln (10 x)$ на $1$ .

$2 \ln (2 x) - \ln (10 x) = \ln (30)$

Этап 2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$2 \ln (2 x) - \ln (10 x) - \ln (30) = 0$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $2 \ln (2 x) - \ln (10 x) - \ln (30)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Упростим $2 \ln (2 x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln ({(2 x)}^{2}) - \ln (10 x) - \ln (30) = 0$

Этап 3.1.1.2

Применим правило умножения к $2 x$ .

$\ln (2^{2} x^{2}) - \ln (10 x) - \ln (30) = 0$

Этап 3.1.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\ln (4 x^{2}) - \ln (10 x) - \ln (30) = 0$

Этап 3.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{4 x^{2}}{10 x}) - \ln (30) = 0$

Этап 3.1.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{4 x^{2}}{10 x}}{30}) = 0$

Этап 3.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{2}$ .

$\ln (\frac{\frac{2 (2 x^{2})}{10 x}}{30}) = 0$

Этап 3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10 x$ .

$\ln (\frac{\frac{2 (2 x^{2})}{2 (5 x)}}{30}) = 0$

Этап 3.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{\frac{2 (2 x^{2})}{2 (5 x)}}{30}) = 0$

Этап 3.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{\frac{2 x^{2}}{5 x}}{30}) = 0$

Этап 3.1.5

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2}$ .

$\ln (\frac{\frac{x (2 x)}{5 x}}{30}) = 0$

Этап 3.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $5 x$ .

$\ln (\frac{\frac{x (2 x)}{x \cdot 5}}{30}) = 0$

Этап 3.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{\frac{x (2 x)}{x \cdot 5}}{30}) = 0$

Этап 3.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{\frac{2 x}{5}}{30}) = 0$

Этап 3.1.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (\frac{2 x}{5} \cdot \frac{1}{30}) = 0$

Этап 3.1.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\ln (\frac{2 (x)}{5} \cdot \frac{1}{30}) = 0$

Этап 3.1.7.2

Вынесем множитель $2$ из $30$ .

$\ln (\frac{2 (x)}{5} \cdot \frac{1}{2 (15)}) = 0$

Этап 3.1.7.3

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{2 x}{5} \cdot \frac{1}{2 \cdot 15}) = 0$

Этап 3.1.7.4

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{x}{5} \cdot \frac{1}{15}) = 0$

Этап 3.1.8

Умножим $\frac{x}{5}$ на $\frac{1}{15}$ .

$\ln (\frac{x}{5 \cdot 15}) = 0$

Этап 3.1.9

Умножим $5$ на $15$ .

$\ln (\frac{x}{75}) = 0$

Этап 4

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{x}{75})} = e^{0}$

Этап 5

Перепишем $\ln (\frac{x}{75}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{x}{75}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{x}{75} = e^{0}$ .

$\frac{x}{75} = e^{0}$

Этап 6.2

Умножим обе части уравнения на $75$ .

$75 \frac{x}{75} = 75 e^{0}$

Этап 6.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Сократим общий множитель $75$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$75 \frac{x}{75} = 75 e^{0}$

Этап 6.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 75 e^{0}$

Этап 6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим $75 e^{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x = 75 \cdot 1$

Этап 6.3.2.1.2

Умножим $75$ на $1$ .

$x = 75$