Алгебра Примеры

$x^{\frac{4}{3}} = 81$

Этап 1

Вычтем $81$ из обеих частей уравнения.

$x^{\frac{4}{3}} - 81 = 0$

Этап 2

Перепишем $x^{\frac{4}{3}}$ в виде ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{2} - 81 = 0$

Этап 3

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{2} - 9^{2} = 0$

Этап 4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{\frac{2}{3}}$ и $b = 9$ .

$(x^{\frac{2}{3}} + 9) (x^{\frac{2}{3}} - 9) = 0$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $x^{\frac{2}{3}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$(x^{\frac{2}{3}} + 9) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 9) = 0$

Этап 5.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$(x^{\frac{2}{3}} + 9) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 3^{2}) = 0$

Этап 5.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{\frac{1}{3}}$ и $b = 3$ .

$(x^{\frac{2}{3}} + 9) ((x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3)) = 0$

Этап 5.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{\frac{2}{3}} + 9) (x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} + 9 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} - 3 = 0$

Этап 7

Приравняем $x^{\frac{2}{3}} + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x^{\frac{2}{3}} + 9$ к $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} + 9 = 0$

Этап 7.2

Решим $x^{\frac{2}{3}} + 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x^{\frac{2}{3}} = - 9$

Этап 7.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{3}{2}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Упростим ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.2.3.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.2.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.2.3.1.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.2.3.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = \pm {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.2.3.1.2

Упростим.

$x = \pm {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = {(- 9)}^{\frac{3}{2}}, - {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 8

Приравняем $x^{\frac{1}{3}} + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $x^{\frac{1}{3}} + 3$ к $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

Этап 8.2

Решим $x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x^{\frac{1}{3}} = - 3$

Этап 8.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

Этап 8.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Этап 8.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Этап 8.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(- 3)}^{3}$

Этап 8.2.3.1.1.2

Упростим.

$x = {(- 3)}^{3}$

Этап 8.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$x = - 27$

Этап 9

Приравняем $x^{\frac{1}{3}} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $x^{\frac{1}{3}} - 3$ к $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 3 = 0$

Этап 9.2

Решим $x^{\frac{1}{3}} - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x^{\frac{1}{3}} = 3$

Этап 9.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 3^{3}$

Этап 9.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Этап 9.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Этап 9.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 3^{3}$

Этап 9.2.3.1.1.2

Упростим.

$x = 3^{3}$

Этап 9.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.2.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$x = 27$

Этап 10

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{\frac{2}{3}} + 9) (x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) = 0$ верно.

$x = {(- 9)}^{\frac{3}{2}}, - {(- 9)}^{\frac{3}{2}}, - 27, 27$

Этап 11

Исключим решения, которые не делают $(x^{\frac{2}{3}} + 9) (x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) = 0$ истинным.

$x = - 27, 27$