Алгебра Примеры

$x^{- 3} = \frac{1}{64}$

Этап 1

Вычтем $\frac{1}{64}$ из обеих частей уравнения.

$x^{- 3} - \frac{1}{64} = 0$

Этап 2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{64} = 0$

Этап 3

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{1^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{64} = 0$

Этап 4

Перепишем $\frac{1^{3}}{x^{3}}$ в виде ${(\frac{1}{x})}^{3}$ .

${(\frac{1}{x})}^{3} - \frac{1}{64} = 0$

Этап 5

Перепишем $\frac{1}{64}$ в виде ${(\frac{1}{4})}^{3}$ .

${(\frac{1}{x})}^{3} - {(\frac{1}{4})}^{3} = 0$

Этап 6

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{4}$ .

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) ({(\frac{1}{x})}^{2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{4} + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{x}$ .

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) (\frac{1^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{4} + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Этап 7.2

Единица в любой степени равна единице.

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{4} + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Этап 7.3

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{4}$ .

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x \cdot 4} + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Этап 7.4

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 \cdot x} + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Этап 7.5

Умножим $4$ на $x$ .

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x} + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Этап 7.6

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x} + \frac{1^{2}}{4^{2}}) = 0$

Этап 7.7

Единица в любой степени равна единице.

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x} + \frac{1}{4^{2}}) = 0$

Этап 7.8

Возведем $4$ в степень $2$ .

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x} + \frac{1}{16}) = 0$

Этап 7.9

Изменим порядок членов.

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) (\frac{1}{4 x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Этап 8

Чтобы записать $\frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$(\frac{1}{x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) (\frac{1}{4 x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Этап 9

Чтобы записать $- \frac{1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{1}{x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{x}) (\frac{1}{4 x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Этап 10

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x \cdot 4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{4}{4}$ .

$(\frac{4}{x \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{x}) (\frac{1}{4 x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Этап 10.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{4}{x \cdot 4} - \frac{x}{4 x}) (\frac{1}{4 x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Этап 10.3

Изменим порядок множителей в $x \cdot 4$ .

$(\frac{4}{4 x} - \frac{x}{4 x}) (\frac{1}{4 x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Этап 11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{1}{4 x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Этап 12

Чтобы записать $\frac{1}{4 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{1}{4 x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Этап 13

Чтобы записать $\frac{1}{x^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{1}{4 x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Этап 14

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4 x^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $\frac{1}{4 x}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x}{4 x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Этап 14.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x}{4 (x \cdot x)} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Этап 14.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x}{4 (x \cdot x)} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Этап 14.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x}{4 x^{1 + 1}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Этап 14.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x}{4 x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Этап 14.6

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x}{4 x^{2}} + \frac{4}{x^{2} \cdot 4} + \frac{1}{16}) = 0$

Этап 14.7

Изменим порядок множителей в $x^{2} \cdot 4$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x}{4 x^{2}} + \frac{4}{4 x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Этап 15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x + 4}{4 x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Этап 16

Чтобы записать $\frac{x + 4}{4 x^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x + 4}{4 x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Этап 17

Чтобы записать $\frac{1}{16}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x + 4}{4 x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}) = 0$

Этап 18

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $16 x^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Умножим $\frac{x + 4}{4 x^{2}}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{(x + 4) \cdot 4}{4 x^{2} \cdot 4} + \frac{1}{16} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}) = 0$

Этап 18.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{(x + 4) \cdot 4}{16 x^{2}} + \frac{1}{16} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}) = 0$

Этап 18.3

Умножим $\frac{1}{16}$ на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{(x + 4) \cdot 4}{16 x^{2}} + \frac{x^{2}}{16 x^{2}}) = 0$

Этап 19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot \frac{(x + 4) \cdot 4 + x^{2}}{16 x^{2}} = 0$

Этап 20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot \frac{x \cdot 4 + 4 \cdot 4 + x^{2}}{16 x^{2}} = 0$

Этап 20.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot \frac{4 \cdot x + 4 \cdot 4 + x^{2}}{16 x^{2}} = 0$

Этап 20.3

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot \frac{4 x + 16 + x^{2}}{16 x^{2}} = 0$

Этап 20.4

Изменим порядок членов.

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot \frac{x^{2} + 4 x + 16}{16 x^{2}} = 0$

Этап 21

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\frac{4 - x}{4 x} = 0$

$\frac{x^{2} + 4 x + 16}{16 x^{2}} = 0$

Этап 22

Приравняем $\frac{4 - x}{4 x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Приравняем $\frac{4 - x}{4 x}$ к $0$ .

$\frac{4 - x}{4 x} = 0$

Этап 22.2

Решим $\frac{4 - x}{4 x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.1

Приравняем числитель к нулю.

$4 - x = 0$

Этап 22.2.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 4$

Этап 22.2.2.2

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 22.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 22.2.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 22.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.2.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x = 4$

Этап 23

Приравняем $\frac{x^{2} + 4 x + 16}{16 x^{2}}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Приравняем $\frac{x^{2} + 4 x + 16}{16 x^{2}}$ к $0$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 16}{16 x^{2}} = 0$

Этап 23.2

Решим $\frac{x^{2} + 4 x + 16}{16 x^{2}} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1

Приравняем числитель к нулю.

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Этап 23.2.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 23.2.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 4$ и $c = 16$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.2.3.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.3.1.3

Вычтем $64$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.3.1.4

Перепишем $- 48$ в виде $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (48)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.3.1.7

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.3.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.3.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 23.2.2.3.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Этап 23.2.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.2.4.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.4.1.3

Вычтем $64$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.4.1.4

Перепишем $- 48$ в виде $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (48)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.4.1.7

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.4.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.4.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 23.2.2.4.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Этап 23.2.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}$

Этап 23.2.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.2.5.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.5.1.3

Вычтем $64$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.5.1.4

Перепишем $- 48$ в виде $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (48)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.5.1.7

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.5.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.5.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 23.2.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 23.2.2.5.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Этап 23.2.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Этап 23.2.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Этап 24

Окончательным решением являются все значения, при которых $\frac{4 - x}{4 x} \cdot \frac{x^{2} + 4 x + 16}{16 x^{2}} = 0$ верно.

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$