Алгебра Примеры

$x^{4} - 18 x^{2} + 81 = 0$

Этап 1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 18 x^{2} + 81 = 0$

Этап 2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$u^{2} - 18 u + 81 = 0$

Этап 3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$u^{2} - 18 u + 9^{2} = 0$

Этап 3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$18 u = 2 \cdot u \cdot 9$

Этап 3.3

Перепишем многочлен.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 9 + 9^{2} = 0$

Этап 3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 9$ .

${(u - 9)}^{2} = 0$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

${(x^{2} - 9)}^{2} = 0$

Этап 5

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

${(x^{2} - 3^{2})}^{2} = 0$

Этап 6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

${((x + 3) (x - 3))}^{2} = 0$

Этап 7

Применим правило умножения к $(x + 3) (x - 3)$ .

${(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 8

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 9

Приравняем ${(x + 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем ${(x + 3)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 9.2

Решим ${(x + 3)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 9.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 10

Приравняем ${(x - 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем ${(x - 3)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 10.2

Решим ${(x - 3)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 10.2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 11

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ верно.

$x = - 3, 3$