Алгебра Примеры

$\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} = \frac{19 y + 7}{y^{2} - 49}$

Этап 1

Вычтем $\frac{19 y + 7}{y^{2} - 49}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{y^{2} - 49} = 0$

Этап 2

Упростим $\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{y^{2} - 49}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{y^{2} - 7^{2}} = 0$

Этап 2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = 7$ .

$\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{14}{y - 7}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{14}{y - 7} \cdot \frac{y}{y} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.3

Чтобы записать $- \frac{2}{y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y - 7}{y - 7}$ .

$\frac{14}{y - 7} \cdot \frac{y}{y} - \frac{2}{y} \cdot \frac{y - 7}{y - 7} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(y - 7) y$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $\frac{14}{y - 7}$ на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{14 y}{(y - 7) y} - \frac{2}{y} \cdot \frac{y - 7}{y - 7} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.4.2

Умножим $\frac{2}{y}$ на $\frac{y - 7}{y - 7}$ .

$\frac{14 y}{(y - 7) y} - \frac{2 (y - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.4.3

Изменим порядок множителей в $(y - 7) y$ .

$\frac{14 y}{y (y - 7)} - \frac{2 (y - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{14 y - 2 (y - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $14 y - 2 (y - 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $14 y$ .

$\frac{2 (7 y) - 2 (y - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.6.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 (y - 7)$ .

$\frac{2 (7 y) + 2 (- (y - 7))}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.6.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (7 y) + 2 (- (y - 7))$ .

$\frac{2 (7 y - (y - 7))}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (7 y - y - - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.6.3

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$\frac{2 (7 y - y + 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.6.4

Вычтем $y$ из $7 y$ .

$\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.7

Чтобы записать $\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y + 7}{y + 7}$ .

$\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)} \cdot \frac{y + 7}{y + 7} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.8

Чтобы записать $- \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)} \cdot \frac{y + 7}{y + 7} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} \cdot \frac{y}{y} = 0$

Этап 2.9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $y (y - 7) (y + 7)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)}$ на $\frac{y + 7}{y + 7}$ .

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7)}{y (y - 7) (y + 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} \cdot \frac{y}{y} = 0$

Этап 2.9.2

Умножим $\frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)}$ на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7)}{y (y - 7) (y + 7)} - \frac{(19 y + 7) y}{(y + 7) (y - 7) y} = 0$

Этап 2.9.3

Изменим порядок множителей в $y (y - 7) (y + 7)$ .

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7)}{y (y + 7) (y - 7)} - \frac{(19 y + 7) y}{(y + 7) (y - 7) y} = 0$

Этап 2.9.4

Изменим порядок множителей в $(y + 7) (y - 7) y$ .

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7)}{y (y + 7) (y - 7)} - \frac{(19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 (6 y) + 2 \cdot 7) (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.2

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{(12 y + 2 \cdot 7) (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.3

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{(12 y + 14) (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.4

Развернем $(12 y + 14) (y + 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 y (y + 7) + 14 (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 y \cdot y + 12 y \cdot 7 + 14 (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 y \cdot y + 12 y \cdot 7 + 14 y + 14 \cdot 7 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.5.1.1

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.5.1.1.1

Перенесем $y$ .

$\frac{12 (y \cdot y) + 12 y \cdot 7 + 14 y + 14 \cdot 7 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.5.1.1.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{12 y^{2} + 12 y \cdot 7 + 14 y + 14 \cdot 7 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.5.1.2

Умножим $7$ на $12$ .

$\frac{12 y^{2} + 84 y + 14 y + 14 \cdot 7 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.5.1.3

Умножим $14$ на $7$ .

$\frac{12 y^{2} + 84 y + 14 y + 98 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.5.2

Добавим $84 y$ и $14 y$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 + (- (19 y) - 1 \cdot 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.7

Умножим $19$ на $- 1$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 + (- 19 y - 1 \cdot 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.8

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 + (- 19 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.9

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 - 19 y \cdot y - 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.10

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.10.1

Перенесем $y$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 - 19 (y \cdot y) - 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.10.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 - 19 y^{2} - 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.11

Вычтем $19 y^{2}$ из $12 y^{2}$ .

$\frac{- 7 y^{2} + 98 y + 98 - 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.12

Вычтем $7 y$ из $98 y$ .

$\frac{- 7 y^{2} + 91 y + 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.13

Перепишем $- 7 y^{2} + 91 y + 98$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.13.1

Вынесем множитель $7$ из $- 7 y^{2} + 91 y + 98$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.13.1.1

Вынесем множитель $7$ из $- 7 y^{2}$ .

$\frac{7 (- y^{2}) + 91 y + 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.13.1.2

Вынесем множитель $7$ из $91 y$ .

$\frac{7 (- y^{2}) + 7 (13 y) + 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.13.1.3

Вынесем множитель $7$ из $98$ .

$\frac{7 (- y^{2}) + 7 (13 y) + 7 (14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.13.1.4

Вынесем множитель $7$ из $7 (- y^{2}) + 7 (13 y)$ .

$\frac{7 (- y^{2} + 13 y) + 7 (14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.13.1.5

Вынесем множитель $7$ из $7 (- y^{2} + 13 y) + 7 (14)$ .

$\frac{7 (- y^{2} + 13 y + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.13.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.13.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 14 = - 14$ , а сумма — $b = 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.13.2.1.1

Вынесем множитель $13$ из $13 y$ .

$\frac{7 (- y^{2} + 13 (y) + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.13.2.1.2

Запишем $13$ как $- 1$ плюс $14$

$\frac{7 (- y^{2} + (- 1 + 14) y + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.13.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 (- y^{2} - 1 y + 14 y + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.13.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.13.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{7 ((- y^{2} - 1 y) + 14 y + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.13.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{7 (y (- y - 1) - 14 (- y - 1))}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.11.13.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- y - 1$ .

$\frac{7 ((- y - 1) (y - 14))}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

$\frac{7 (- y - 1) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$\frac{7 (- (y) - 1) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.13

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{7 (- (y) - 1 (1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.14

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y) - 1 (1)$ .

$\frac{7 (- (y + 1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.15

Перепишем $- (y + 1)$ в виде $- 1 (y + 1)$ .

$\frac{7 (- 1 (y + 1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(7 (y + 1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 2.17

Изменим порядок множителей в $- \frac{(7 (y + 1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)}$ .

$- \frac{7 (y + 1) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Этап 3

Приравняем числитель к нулю.

$7 (y + 1) (y - 14) = 0$

Этап 4

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y + 1 = 0$

$y - 14 = 0$

Этап 4.2

Приравняем $y + 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Приравняем $y + 1$ к $0$ .

$y + 1 = 0$

Этап 4.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = - 1$

Этап 4.3

Приравняем $y - 14$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $y - 14$ к $0$ .

$y - 14 = 0$

Этап 4.3.2

Добавим $14$ к обеим частям уравнения.

$y = 14$

Этап 4.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $7 (y + 1) (y - 14) = 0$ верно.

$y = - 1, 14$