Алгебра Примеры

$r^{\frac{6}{7}} = 64$

Этап 1

Вычтем $64$ из обеих частей уравнения.

$r^{\frac{6}{7}} - 64 = 0$

Этап 2

Перепишем $r^{\frac{6}{7}}$ в виде ${(r^{\frac{2}{7}})}^{3}$ .

${(r^{\frac{2}{7}})}^{3} - 64 = 0$

Этап 3

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

${(r^{\frac{2}{7}})}^{3} - 4^{3} = 0$

Этап 4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = r^{\frac{2}{7}}$ и $b = 4$ .

$(r^{\frac{2}{7}} - 4) ({(r^{\frac{2}{7}})}^{2} + r^{\frac{2}{7}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $r^{\frac{2}{7}}$ в виде ${(r^{\frac{1}{7}})}^{2}$ .

$({(r^{\frac{1}{7}})}^{2} - 4) ({(r^{\frac{2}{7}})}^{2} + r^{\frac{2}{7}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$({(r^{\frac{1}{7}})}^{2} - 2^{2}) ({(r^{\frac{2}{7}})}^{2} + r^{\frac{2}{7}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 5.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = r^{\frac{1}{7}}$ и $b = 2$ .

$(r^{\frac{1}{7}} + 2) (r^{\frac{1}{7}} - 2) ({(r^{\frac{2}{7}})}^{2} + r^{\frac{2}{7}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 5.4

Перемножим экспоненты в ${(r^{\frac{2}{7}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(r^{\frac{1}{7}} + 2) (r^{\frac{1}{7}} - 2) (r^{\frac{2}{7} \cdot 2} + r^{\frac{2}{7}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 5.4.2

Умножим $\frac{2}{7} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Объединим $\frac{2}{7}$ и $2$ .

$(r^{\frac{1}{7}} + 2) (r^{\frac{1}{7}} - 2) (r^{\frac{2 \cdot 2}{7}} + r^{\frac{2}{7}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 5.4.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$(r^{\frac{1}{7}} + 2) (r^{\frac{1}{7}} - 2) (r^{\frac{4}{7}} + r^{\frac{2}{7}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 5.5

Перенесем $4$ влево от $r^{\frac{2}{7}}$ .

$(r^{\frac{1}{7}} + 2) (r^{\frac{1}{7}} - 2) (r^{\frac{4}{7}} + 4 r^{\frac{2}{7}} + 4^{2}) = 0$

Этап 5.6

Возведем $4$ в степень $2$ .

$(r^{\frac{1}{7}} + 2) (r^{\frac{1}{7}} - 2) (r^{\frac{4}{7}} + 4 r^{\frac{2}{7}} + 16) = 0$

Этап 5.7

Изменим порядок членов.

$(r^{\frac{1}{7}} + 2) (r^{\frac{1}{7}} - 2) (4 r^{\frac{2}{7}} + r^{\frac{4}{7}} + 16) = 0$

Этап 6

Упростим $(r^{\frac{1}{7}} + 2) (r^{\frac{1}{7}} - 2) (4 r^{\frac{2}{7}} + r^{\frac{4}{7}} + 16)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Развернем $(r^{\frac{1}{7}} + 2) (r^{\frac{1}{7}} - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(r^{\frac{1}{7}} (r^{\frac{1}{7}} - 2) + 2 (r^{\frac{1}{7}} - 2)) (4 r^{\frac{2}{7}} + r^{\frac{4}{7}} + 16) = 0$

Этап 6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(r^{\frac{1}{7}} r^{\frac{1}{7}} + r^{\frac{1}{7}} \cdot - 2 + 2 (r^{\frac{1}{7}} - 2)) (4 r^{\frac{2}{7}} + r^{\frac{4}{7}} + 16) = 0$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(r^{\frac{1}{7}} r^{\frac{1}{7}} + r^{\frac{1}{7}} \cdot - 2 + 2 r^{\frac{1}{7}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{7}} + r^{\frac{4}{7}} + 16) = 0$

Этап 6.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим противоположные члены в $r^{\frac{1}{7}} r^{\frac{1}{7}} + r^{\frac{1}{7}} \cdot - 2 + 2 r^{\frac{1}{7}} + 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Изменим порядок множителей в членах $r^{\frac{1}{7}} \cdot - 2$ и $2 r^{\frac{1}{7}}$ .

$(r^{\frac{1}{7}} r^{\frac{1}{7}} - 2 r^{\frac{1}{7}} + 2 r^{\frac{1}{7}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{7}} + r^{\frac{4}{7}} + 16) = 0$

Этап 6.2.1.2

Добавим $- 2 r^{\frac{1}{7}}$ и $2 r^{\frac{1}{7}}$ .

$(r^{\frac{1}{7}} r^{\frac{1}{7}} + 0 + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{7}} + r^{\frac{4}{7}} + 16) = 0$

Этап 6.2.1.3

Добавим $r^{\frac{1}{7}} r^{\frac{1}{7}}$ и $0$ .

$(r^{\frac{1}{7}} r^{\frac{1}{7}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{7}} + r^{\frac{4}{7}} + 16) = 0$

Этап 6.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Умножим $r^{\frac{1}{7}}$ на $r^{\frac{1}{7}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(r^{\frac{1}{7} + \frac{1}{7}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{7}} + r^{\frac{4}{7}} + 16) = 0$

Этап 6.2.2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$(r^{\frac{1 + 1}{7}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{7}} + r^{\frac{4}{7}} + 16) = 0$

Этап 6.2.2.1.3

Добавим $1$ и $1$ .

$(r^{\frac{2}{7}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{7}} + r^{\frac{4}{7}} + 16) = 0$

Этап 6.2.2.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$(r^{\frac{2}{7}} - 4) (4 r^{\frac{2}{7}} + r^{\frac{4}{7}} + 16) = 0$

Этап 6.3

Развернем $(r^{\frac{2}{7}} - 4) (4 r^{\frac{2}{7}} + r^{\frac{4}{7}} + 16)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$r^{\frac{2}{7}} (4 r^{\frac{2}{7}}) + r^{\frac{2}{7}} r^{\frac{4}{7}} + r^{\frac{2}{7}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{7}}) - 4 r^{\frac{4}{7}} - 4 \cdot 16 = 0$

Этап 6.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 r^{\frac{2}{7}} r^{\frac{2}{7}} + r^{\frac{2}{7}} r^{\frac{4}{7}} + r^{\frac{2}{7}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{7}}) - 4 r^{\frac{4}{7}} - 4 \cdot 16 = 0$

Этап 6.4.1.2

Умножим $r^{\frac{2}{7}}$ на $r^{\frac{2}{7}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.2.1

Перенесем $r^{\frac{2}{7}}$ .

$4 (r^{\frac{2}{7}} r^{\frac{2}{7}}) + r^{\frac{2}{7}} r^{\frac{4}{7}} + r^{\frac{2}{7}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{7}}) - 4 r^{\frac{4}{7}} - 4 \cdot 16 = 0$

Этап 6.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 r^{\frac{2}{7} + \frac{2}{7}} + r^{\frac{2}{7}} r^{\frac{4}{7}} + r^{\frac{2}{7}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{7}}) - 4 r^{\frac{4}{7}} - 4 \cdot 16 = 0$

Этап 6.4.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 r^{\frac{2 + 2}{7}} + r^{\frac{2}{7}} r^{\frac{4}{7}} + r^{\frac{2}{7}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{7}}) - 4 r^{\frac{4}{7}} - 4 \cdot 16 = 0$

Этап 6.4.1.2.4

Добавим $2$ и $2$ .

$4 r^{\frac{4}{7}} + r^{\frac{2}{7}} r^{\frac{4}{7}} + r^{\frac{2}{7}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{7}}) - 4 r^{\frac{4}{7}} - 4 \cdot 16 = 0$

Этап 6.4.1.3

Умножим $r^{\frac{2}{7}}$ на $r^{\frac{4}{7}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 r^{\frac{4}{7}} + r^{\frac{2}{7} + \frac{4}{7}} + r^{\frac{2}{7}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{7}}) - 4 r^{\frac{4}{7}} - 4 \cdot 16 = 0$

Этап 6.4.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 r^{\frac{4}{7}} + r^{\frac{2 + 4}{7}} + r^{\frac{2}{7}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{7}}) - 4 r^{\frac{4}{7}} - 4 \cdot 16 = 0$

Этап 6.4.1.3.3

Добавим $2$ и $4$ .

$4 r^{\frac{4}{7}} + r^{\frac{6}{7}} + r^{\frac{2}{7}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{7}}) - 4 r^{\frac{4}{7}} - 4 \cdot 16 = 0$

Этап 6.4.1.4

Перенесем $16$ влево от $r^{\frac{2}{7}}$ .

$4 r^{\frac{4}{7}} + r^{\frac{6}{7}} + 16 \cdot r^{\frac{2}{7}} - 4 (4 r^{\frac{2}{7}}) - 4 r^{\frac{4}{7}} - 4 \cdot 16 = 0$

Этап 6.4.1.5

Умножим $4$ на $- 4$ .

$4 r^{\frac{4}{7}} + r^{\frac{6}{7}} + 16 r^{\frac{2}{7}} - 16 r^{\frac{2}{7}} - 4 r^{\frac{4}{7}} - 4 \cdot 16 = 0$

Этап 6.4.1.6

Умножим $- 4$ на $16$ .

$4 r^{\frac{4}{7}} + r^{\frac{6}{7}} + 16 r^{\frac{2}{7}} - 16 r^{\frac{2}{7}} - 4 r^{\frac{4}{7}} - 64 = 0$

Этап 6.4.2

Объединим противоположные члены в $4 r^{\frac{4}{7}} + r^{\frac{6}{7}} + 16 r^{\frac{2}{7}} - 16 r^{\frac{2}{7}} - 4 r^{\frac{4}{7}} - 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Вычтем $16 r^{\frac{2}{7}}$ из $16 r^{\frac{2}{7}}$ .

$4 r^{\frac{4}{7}} + r^{\frac{6}{7}} + 0 - 4 r^{\frac{4}{7}} - 64 = 0$

Этап 6.4.2.2

Добавим $4 r^{\frac{4}{7}} + r^{\frac{6}{7}}$ и $0$ .

$4 r^{\frac{4}{7}} + r^{\frac{6}{7}} - 4 r^{\frac{4}{7}} - 64 = 0$

Этап 6.4.2.3

Вычтем $4 r^{\frac{4}{7}}$ из $4 r^{\frac{4}{7}}$ .

$r^{\frac{6}{7}} + 0 - 64 = 0$

Этап 6.4.2.4

Добавим $r^{\frac{6}{7}}$ и $0$ .

$r^{\frac{6}{7}} - 64 = 0$

Этап 7

Добавим $64$ к обеим частям уравнения.

$r^{\frac{6}{7}} = 64$

Этап 8

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{7}{6}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(r^{\frac{6}{7}})}^{\frac{7}{6}} = \pm 64^{\frac{7}{6}}$

Этап 9

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим ${(r^{\frac{6}{7}})}^{\frac{7}{6}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(r^{\frac{6}{7}})}^{\frac{7}{6}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r^{\frac{6}{7} \cdot \frac{7}{6}} = \pm 64^{\frac{7}{6}}$

Этап 9.1.1.1.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$r^{\frac{6}{7} \cdot \frac{7}{6}} = \pm 64^{\frac{7}{6}}$

Этап 9.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$r^{\frac{1}{7} \cdot 7} = \pm 64^{\frac{7}{6}}$

Этап 9.1.1.1.3

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$r^{\frac{1}{7} \cdot 7} = \pm 64^{\frac{7}{6}}$

Этап 9.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$r^{1} = \pm 64^{\frac{7}{6}}$

Этап 9.1.1.2

Упростим.

$r = \pm 64^{\frac{7}{6}}$

Этап 9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим $\pm 64^{\frac{7}{6}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1.1

Перепишем $64$ в виде $2^{6}$ .

$r = \pm {(2^{6})}^{\frac{7}{6}}$

Этап 9.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm 2^{6 (\frac{7}{6})}$

Этап 9.2.1.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$r = \pm 2^{6 (\frac{7}{6})}$

Этап 9.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$r = \pm 2^{7}$

Этап 9.2.1.3

Возведем $2$ в степень $7$ .

$r = \pm 128$

Этап 10

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$r = 128$

Этап 10.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$r = - 128$

Этап 10.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$r = 128, - 128$