Алгебра Примеры

$4 x^{4} = 13 x^{2} - 9$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $13 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{4} - 13 x^{2} = - 9$

Этап 1.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{4} - 13 x^{2} + 9 = 0$

Этап 2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 {(x^{2})}^{2} - 13 x^{2} + 9 = 0$

Этап 3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$4 u^{2} - 13 u + 9 = 0$

Этап 4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 9 = 36$ , а сумма — $b = - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $- 13$ из $- 13 u$ .

$4 u^{2} - 13 u + 9 = 0$

Этап 4.1.2

Запишем $- 13$ как $- 4$ плюс $- 9$

$4 u^{2} + (- 4 - 9) u + 9 = 0$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 u^{2} - 4 u - 9 u + 9 = 0$

Этап 4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 u^{2} - 4 u) - 9 u + 9 = 0$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$4 u (u - 1) - 9 (u - 1) = 0$

Этап 4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $u - 1$ .

$(u - 1) (4 u - 9) = 0$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$(x^{2} - 1) (4 x^{2} - 9) = 0$

Этап 6

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(x^{2} - 1^{2}) (4 x^{2} - 9) = 0$

Этап 7

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(x + 1) (x - 1) (4 x^{2} - 9) = 0$

Этап 8

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$(x + 1) (x - 1) ({(2 x)}^{2} - 9) = 0$

Этап 9

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$(x + 1) (x - 1) ({(2 x)}^{2} - 3^{2}) = 0$

Этап 10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 x$ и $b = 3$ .

$(x + 1) (x - 1) ((2 x + 3) (2 x - 3)) = 0$

Этап 10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) (x - 1) (2 x + 3) (2 x - 3) = 0$

Этап 11

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$2 x + 3 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Этап 12

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 12.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 13

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 13.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 14

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Этап 14.2

Решим $2 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 14.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 14.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 14.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 14.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 15

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Этап 15.2

Решим $2 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 3$

Этап 15.2.2

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 15.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 15.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 16

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x - 1) (2 x + 3) (2 x - 3) = 0$ верно.

$x = - 1, 1, - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}$