Алгебра Примеры

$x^{4} + 2 x^{3} - 10 x^{2} - 18 x + 9 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем члены.

$2 x^{3} - 18 x + x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3} - 18 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) - 18 x + x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 18 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 9) + x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{2}) + 2 x (- 9)$ .

$2 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$

Этап 1.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$2 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$

Этап 1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$2 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$

Этап 1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$

Этап 1.5

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 10 x^{2} + 9 = 0$

Этап 1.6

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$2 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 10 u + 9 = 0$

Этап 1.7

Разложим $u^{2} - 10 u + 9$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $9$ , а сумма — $- 10$ .

$- 9, - 1$

Этап 1.7.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u - 1) = 0$

Этап 1.8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$2 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} - 1) = 0$

Этап 1.9

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$2 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 1) = 0$

Этап 1.10

$2 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 1) = 0$

Этап 1.11

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$2 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Этап 1.12

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$2 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 1.12.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 1.13

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $2 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x + 1) (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $2 x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (2 x) + (x + 3) (x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 1.13.2

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $(x + 3) (x - 3) (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 3) (x - 3) (2 x) + (x + 3) (x - 3) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 1.13.3

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $(x + 3) (x - 3) (2 x) + (x + 3) (x - 3) ((x + 1) (x - 1))$ .

$(x + 3) (x - 3) (2 x + (x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 1.14

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 3) (x - 3) (2 x + x (x - 1) + 1 (x - 1)) = 0$

Этап 1.14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 3) (x - 3) (2 x + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) = 0$

Этап 1.14.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 3) (x - 3) (2 x + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) = 0$

Этап 1.15

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (2 x + x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) = 0$

Этап 1.15.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (2 x + x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1) = 0$

Этап 1.15.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$(x + 3) (x - 3) (2 x + x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) = 0$

Этап 1.15.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$(x + 3) (x - 3) (2 x + x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) = 0$

Этап 1.15.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(x + 3) (x - 3) (2 x + x^{2} - x + x - 1) = 0$

Этап 1.15.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (2 x + x^{2} + 0 - 1) = 0$

Этап 1.15.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$(x + 3) (x - 3) (2 x + x^{2} - 1) = 0$

Этап 1.16

Изменим порядок членов.

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 3.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5

Приравняем $x^{2} + 2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x^{2} + 2 x - 1$ к $0$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.3

Добавим $4$ и $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 5.2.3.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$ верно.

$x = - 3, 3, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - 3, 3, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Десятичная форма:

$x = - 3, 3, 0.41421356 \dots, - 2.41421356 \dots$

Этап 8