Алгебра Примеры

$\frac{4}{y - 1} + \frac{1}{y} = \frac{6}{5}$

Этап 1

Вычтем $\frac{6}{5}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{4}{y - 1} + \frac{1}{y} - \frac{6}{5} = 0$

Этап 2

Упростим $\frac{4}{y - 1} + \frac{1}{y} - \frac{6}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{4}{y - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{4}{y - 1} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y} - \frac{6}{5} = 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{1}{y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y - 1}{y - 1}$ .

$\frac{4}{y - 1} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{y - 1}{y - 1} - \frac{6}{5} = 0$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(y - 1) y$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{4}{y - 1}$ на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{4 y}{(y - 1) y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{y - 1}{y - 1} - \frac{6}{5} = 0$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{1}{y}$ на $\frac{y - 1}{y - 1}$ .

$\frac{4 y}{(y - 1) y} + \frac{y - 1}{y (y - 1)} - \frac{6}{5} = 0$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(y - 1) y$ .

$\frac{4 y}{y (y - 1)} + \frac{y - 1}{y (y - 1)} - \frac{6}{5} = 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 y + y - 1}{y (y - 1)} - \frac{6}{5} = 0$

Этап 2.5

Добавим $4 y$ и $y$ .

$\frac{5 y - 1}{y (y - 1)} - \frac{6}{5} = 0$

Этап 2.6

Чтобы записать $\frac{5 y - 1}{y (y - 1)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5 y - 1}{y (y - 1)} \cdot \frac{5}{5} - \frac{6}{5} = 0$

Этап 2.7

Чтобы записать $- \frac{6}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y (y - 1)}{y (y - 1)}$ .

$\frac{5 y - 1}{y (y - 1)} \cdot \frac{5}{5} - \frac{6}{5} \cdot \frac{y (y - 1)}{y (y - 1)} = 0$

Этап 2.8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $y (y - 1) \cdot 5$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Умножим $\frac{5 y - 1}{y (y - 1)}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{(5 y - 1) \cdot 5}{y (y - 1) \cdot 5} - \frac{6}{5} \cdot \frac{y (y - 1)}{y (y - 1)} = 0$

Этап 2.8.2

Умножим $\frac{6}{5}$ на $\frac{y (y - 1)}{y (y - 1)}$ .

$\frac{(5 y - 1) \cdot 5}{y (y - 1) \cdot 5} - \frac{6 (y (y - 1))}{5 (y (y - 1))} = 0$

Этап 2.8.3

Изменим порядок множителей в $y (y - 1) \cdot 5$ .

$\frac{(5 y - 1) \cdot 5}{5 y (y - 1)} - \frac{6 (y (y - 1))}{5 (y (y - 1))} = 0$

Этап 2.8.4

Изменим порядок множителей в $5 (y (y - 1))$ .

$\frac{(5 y - 1) \cdot 5}{5 y (y - 1)} - \frac{6 (y (y - 1))}{5 y (y - 1)} = 0$

Этап 2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(5 y - 1) \cdot 5 - 6 (y (y - 1))}{5 y (y - 1)} = 0$

Этап 2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 y \cdot 5 - 1 \cdot 5 - 6 y (y - 1)}{5 y (y - 1)} = 0$

Этап 2.10.2

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{25 y - 1 \cdot 5 - 6 y (y - 1)}{5 y (y - 1)} = 0$

Этап 2.10.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{25 y - 5 - 6 y (y - 1)}{5 y (y - 1)} = 0$

Этап 2.10.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{25 y - 5 - 6 y \cdot y - 6 y \cdot - 1}{5 y (y - 1)} = 0$

Этап 2.10.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.1

Перенесем $y$ .

$\frac{25 y - 5 - 6 (y \cdot y) - 6 y \cdot - 1}{5 y (y - 1)} = 0$

Этап 2.10.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{25 y - 5 - 6 y^{2} - 6 y \cdot - 1}{5 y (y - 1)} = 0$

Этап 2.10.6

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$\frac{25 y - 5 - 6 y^{2} + 6 y}{5 y (y - 1)} = 0$

Этап 2.10.7

Добавим $25 y$ и $6 y$ .

$\frac{31 y - 5 - 6 y^{2}}{5 y (y - 1)} = 0$

Этап 2.10.8

Изменим порядок членов.

$\frac{- 6 y^{2} + 31 y - 5}{5 y (y - 1)} = 0$

Этап 2.10.9

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.9.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 6 \cdot - 5 = 30$ , а сумма — $b = 31$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.9.1.1

Вынесем множитель $31$ из $31 y$ .

$\frac{- 6 y^{2} + 31 (y) - 5}{5 y (y - 1)} = 0$

Этап 2.10.9.1.2

Запишем $31$ как $1$ плюс $30$

$\frac{- 6 y^{2} + (1 + 30) y - 5}{5 y (y - 1)} = 0$

Этап 2.10.9.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 6 y^{2} + 1 y + 30 y - 5}{5 y (y - 1)} = 0$

Этап 2.10.9.1.4

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{- 6 y^{2} + y + 30 y - 5}{5 y (y - 1)} = 0$

Этап 2.10.9.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.9.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(- 6 y^{2} + y) + 30 y - 5}{5 y (y - 1)} = 0$

Этап 2.10.9.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{y (- 6 y + 1) - 5 (- 6 y + 1)}{5 y (y - 1)} = 0$

Этап 2.10.9.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 6 y + 1$ .

$\frac{(- 6 y + 1) (y - 5)}{5 y (y - 1)} = 0$

Этап 2.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- 6 y$ .

$\frac{(- (6 y) + 1) (y - 5)}{5 y (y - 1)} = 0$

Этап 2.12

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(- (6 y) - 1 (- 1)) (y - 5)}{5 y (y - 1)} = 0$

Этап 2.13

Вынесем множитель $- 1$ из $- (6 y) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (6 y - 1) (y - 5)}{5 y (y - 1)} = 0$

Этап 2.14

Перепишем $- (6 y - 1)$ в виде $- 1 (6 y - 1)$ .

$\frac{- 1 (6 y - 1) (y - 5)}{5 y (y - 1)} = 0$

Этап 2.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(6 y - 1) (y - 5)}{5 y (y - 1)} = 0$

Этап 3

Приравняем числитель к нулю.

$(6 y - 1) (y - 5) = 0$

Этап 4

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$6 y - 1 = 0$

$y - 5 = 0$

Этап 4.2

Приравняем $6 y - 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Приравняем $6 y - 1$ к $0$ .

$6 y - 1 = 0$

Этап 4.2.2

Решим $6 y - 1 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$6 y = 1$

Этап 4.2.2.2

Разделим каждый член $6 y = 1$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Разделим каждый член $6 y = 1$ на $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{1}{6}$

Этап 4.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 y}{6} = \frac{1}{6}$

Этап 4.2.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{6}$

Этап 4.3

Приравняем $y - 5$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $y - 5$ к $0$ .

$y - 5 = 0$

Этап 4.3.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$y = 5$

Этап 4.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(6 y - 1) (y - 5) = 0$ верно.

$y = \frac{1}{6}, 5$