Алгебра Примеры

$\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x} = \frac{1}{4}$

Этап 1

Вычтем $\frac{1}{4}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x} - \frac{1}{4} = 0$

Этап 2

Упростим $\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x} - \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{1}{x + 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1}{x + 2} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} - \frac{1}{4} = 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{1}{x + 2} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{1}{4} = 0$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 2) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{1}{x + 2}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{(x + 2) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{1}{4} = 0$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x}{(x + 2) x} + \frac{x + 2}{x (x + 2)} - \frac{1}{4} = 0$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(x + 2) x$ .

$\frac{x}{x (x + 2)} + \frac{x + 2}{x (x + 2)} - \frac{1}{4} = 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x + x + 2}{x (x + 2)} - \frac{1}{4} = 0$

Этап 2.5

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{2 x + 2}{x (x + 2)} - \frac{1}{4} = 0$

Этап 2.6

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2}{x (x + 2)} - \frac{1}{4} = 0$

Этап 2.6.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (x) + 2 (1)}{x (x + 2)} - \frac{1}{4} = 0$

Этап 2.6.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)} - \frac{1}{4} = 0$

Этап 2.7

Чтобы записать $\frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = 0$

Этап 2.8

Чтобы записать $- \frac{1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x (x + 2)}{x (x + 2)}$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x (x + 2)}{x (x + 2)} = 0$

Этап 2.9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x (x + 2) \cdot 4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $\frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 (x + 1) \cdot 4}{x (x + 2) \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x (x + 2)}{x (x + 2)} = 0$

Этап 2.9.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{x (x + 2)}{x (x + 2)}$ .

$\frac{2 (x + 1) \cdot 4}{x (x + 2) \cdot 4} - \frac{x (x + 2)}{4 (x (x + 2))} = 0$

Этап 2.9.3

Изменим порядок множителей в $x (x + 2) \cdot 4$ .

$\frac{2 (x + 1) \cdot 4}{4 x (x + 2)} - \frac{x (x + 2)}{4 (x (x + 2))} = 0$

Этап 2.9.4

Изменим порядок множителей в $4 (x (x + 2))$ .

$\frac{2 (x + 1) \cdot 4}{4 x (x + 2)} - \frac{x (x + 2)}{4 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (x + 1) \cdot 4 - x (x + 2)}{4 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) \cdot 4 - x (x + 2)}{4 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.11.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{(2 x + 2) \cdot 4 - x (x + 2)}{4 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x \cdot 4 + 2 \cdot 4 - x (x + 2)}{4 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.11.4

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8 x + 2 \cdot 4 - x (x + 2)}{4 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.11.5

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{8 x + 8 - x (x + 2)}{4 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.11.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 x + 8 - x \cdot x - x \cdot 2}{4 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.11.7

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.7.1

Перенесем $x$ .

$\frac{8 x + 8 - (x \cdot x) - x \cdot 2}{4 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.11.7.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{8 x + 8 - x^{2} - x \cdot 2}{4 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.11.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{8 x + 8 - x^{2} - 2 x}{4 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.11.9

Вычтем $2 x$ из $8 x$ .

$\frac{6 x + 8 - x^{2}}{4 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.11.10

Изменим порядок членов.

$\frac{- x^{2} + 6 x + 8}{4 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 6 x + 8}{4 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.13

Вынесем множитель $- 1$ из $6 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 6 x) + 8}{4 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.14

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 6 x)$ .

$\frac{- (x^{2} - 6 x) + 8}{4 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.15

Перепишем $8$ в виде $- 1 (- 8)$ .

$\frac{- (x^{2} - 6 x) - 1 (- 8)}{4 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.16

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 6 x) - 1 (- 8)$ .

$\frac{- (x^{2} - 6 x - 8)}{4 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.17

Перепишем $- (x^{2} - 6 x - 8)$ в виде $- 1 (x^{2} - 6 x - 8)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 6 x - 8)}{4 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2} - 6 x - 8}{4 x (x + 2)} = 0$

Этап 3

Приравняем числитель к нулю.

$x^{2} - 6 x - 8 = 0$

Этап 4

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 6$ и $c = - 8$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 8$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.3

Добавим $36$ и $32$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.4

Перепишем $68$ в виде $2^{2} \cdot 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $68$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (17)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{17}}{2}$

Этап 4.3.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{17}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{17}$

Этап 4.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 8$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.3

Добавим $36$ и $32$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.4

Перепишем $68$ в виде $2^{2} \cdot 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $68$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (17)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{17}}{2}$

Этап 4.4.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{17}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{17}$

Этап 4.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 3 + \sqrt{17}$

Этап 4.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 8$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.3

Добавим $36$ и $32$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.4

Перепишем $68$ в виде $2^{2} \cdot 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $68$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (17)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{17}}{2}$

Этап 4.5.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{17}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{17}$

Этап 4.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 3 - \sqrt{17}$

Этап 4.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 3 + \sqrt{17}, 3 - \sqrt{17}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 3 + \sqrt{17}, 3 - \sqrt{17}$

Десятичная форма:

$x = 7.12310562 \dots, - 1.12310562 \dots$