Алгебра Примеры

$2 \ln (x) + 3 \ln (2) = 5$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$2 \ln (x) + 3 \ln (2) = 5$

Этап 2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $2 \ln (x) + 3 \ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Упростим $2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (x^{2}) + 3 \ln (2) = 5$

Этап 2.1.1.2

Упростим $3 \ln (2)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\ln (x^{2}) + \ln (2^{3}) = 5$

Этап 2.1.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\ln (x^{2}) + \ln (8) = 5$

Этап 2.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{2} \cdot 8) = 5$

Этап 2.1.3

Перенесем $8$ влево от $x^{2}$ .

$\ln (8 x^{2}) = 5$

Этап 3

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (8 x^{2})} = e^{5}$

Этап 4

Перепишем $\ln (8 x^{2}) = 5$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{5} = 8 x^{2}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $8 x^{2} = e^{5}$ .

$8 x^{2} = e^{5}$

Этап 5.2

Разделим каждый член $8 x^{2} = e^{5}$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $8 x^{2} = e^{5}$ на $8$ .

$\frac{8 x^{2}}{8} = \frac{e^{5}}{8}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x^{2}}{8} = \frac{e^{5}}{8}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{e^{5}}{8}$

Этап 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{e^{5}}{8}}$

Этап 5.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{e^{5}}{8}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{e^{5}}{8}}$ в виде $\frac{\sqrt{e^{5}}}{\sqrt{8}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e^{5}}}{\sqrt{8}}$

Этап 5.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Перепишем $e^{5}$ в виде ${(e^{2})}^{2} e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Вынесем $e^{4}$ за скобки.

$x = \pm \frac{\sqrt{e^{4} e}}{\sqrt{8}}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем $e^{4}$ в виде ${(e^{2})}^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{{(e^{2})}^{2} e}}{\sqrt{8}}$

Этап 5.4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{\sqrt{8}}$

Этап 5.4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{\sqrt{4 (2)}}$

Этап 5.4.3.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Этап 5.4.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{2 \sqrt{2}}$

Этап 5.4.4

Умножим $\frac{e^{2} \sqrt{e}}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 5.4.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.1

Умножим $\frac{e^{2} \sqrt{e}}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 5.4.5.2

Перенесем $\sqrt{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Этап 5.4.5.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Этап 5.4.5.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Этап 5.4.5.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 5.4.5.6

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 5.4.5.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.4.5.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.4.5.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.4.5.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.7.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.4.5.7.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Этап 5.4.5.7.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.4.6

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.4.7

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Этап 5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Этап 5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Этап 5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}, - \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Этап 6

Исключим решения, которые не делают $2 \ln (x) + 3 \ln (2) = 5$ истинным.

$x = \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Десятичная форма:

$x = 4.30716204 \dots$