Алгебра Примеры

$(3, - 1)$

Этап 1

Чтобы найти экспоненциальную функцию, $f (x) = a^{x}$ , график которой проходит через заданную точку, приравняем функцию $f (x)$ значению $- 1$ , $y$ в заданной точке, а $x$ приравняем значению $3$ , $x$ в заданной точке.

$- 1 = a^{3}$

Этап 2

Решим уравнение относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $a^{3} = - 1$ .

$a^{3} = - 1$

Этап 2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$a^{3} + 1 = 0$

Этап 2.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$a^{3} + 1^{3} = 0$

Этап 2.3.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = a$ и $b = 1$ .

$(a + 1) (a^{2} - a \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(a + 1) (a^{2} - a + 1^{2}) = 0$

Этап 2.3.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$(a + 1) (a^{2} - a + 1) = 0$

Этап 2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$a + 1 = 0$

$a^{2} - a + 1 = 0$

Этап 2.5

Приравняем $a + 1$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $a + 1$ к $0$ .

$a + 1 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$a = - 1$

Этап 2.6

Приравняем $a^{2} - a + 1$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $a^{2} - a + 1$ к $0$ .

$a^{2} - a + 1 = 0$

Этап 2.6.2

Решим $a^{2} - a + 1 = 0$ относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $a$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$a = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.5.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$a = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$a = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(a + 1) (a^{2} - a + 1) = 0$ верно.

$a = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.8

Избавимся от всех величин, содержащих мнимые компоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Мнимые компоненты отсутствуют. Добавим $- 1$ к окончательному ответу.

$- 1$ — вещественное число

Этап 2.8.2

Буква $i$ представляет мнимую часть и не является вещественным числом. Не следует добавлять $\frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ к окончательному ответу.

$\frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ — не вещественное число

Этап 2.8.3

Буква $i$ представляет мнимую часть и не является вещественным числом. Не следует добавлять $\frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ к окончательному ответу.

$\frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ — не вещественное число

Этап 2.8.4

Окончательный ответ ― это список значений, не содержащих мнимых компонентов.

$a = - 1$

Этап 3

Подставим каждое значение $a$ в функцию $f (x) = a^{x}$ , чтобы найти каждую возможную экспоненциальную функцию.

$f (x) = {(- 1)}^{x}$