Алгебра Примеры

$(x^{3} + 2 x - 1) - (2 x^{2} + 4 x - 2)$

Этап 1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} + 2 x - 1 - (2 x^{2}) - (4 x) - - 2$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{3} + 2 x - 1 - 2 x^{2} - (4 x) - - 2$

Этап 2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$x^{3} + 2 x - 1 - 2 x^{2} - 4 x - - 2$

Этап 2.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$x^{3} + 2 x - 1 - 2 x^{2} - 4 x + 2$

Этап 3

Вычтем $4 x$ из $2 x$ .

$x^{3} - 2 x - 1 - 2 x^{2} + 2$

Этап 4

Добавим $- 1$ и $2$ .

$x^{3} - 2 x - 2 x^{2} + 1$

Этап 5

Изменим порядок членов.

$x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 1$

Этап 6

Разложим $x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 1$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Этап 6.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1$

Этап 6.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

${(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1$

Этап 6.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1 - 2 {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1$

Этап 6.3.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 - 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 1 + 1$

Этап 6.3.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 1 - 2 - 2 \cdot - 1 + 1$

Этап 6.3.5

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$- 3 - 2 \cdot - 1 + 1$

Этап 6.3.6

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- 3 + 2 + 1$

Этап 6.3.7

Добавим $- 3$ и $2$ .

$- 1 + 1$

Этап 6.3.8

Добавим $- 1$ и $1$ .

$0$

Этап 6.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 1}{x + 1}$

Этап 6.5

Разделим $x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 1$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$1$

Этап 6.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$

Этап 6.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 6.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 6.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Этап 6.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$

Этап 6.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$

Этап 6.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Этап 6.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x^{2} - 3 x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 6.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$

Этап 6.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$1$

Этап 6.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$1$

Этап 6.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$1$
							+	$x$	+	$1$

Этап 6.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 1$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$1$
							-	$x$	-	$1$

Этап 6.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$1$
							-	$x$	-	$1$
										$0$

Этап 6.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 3 x + 1$

Этап 6.6

Запишем $x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 1$ в виде набора множителей.

$(x + 1) (x^{2} - 3 x + 1)$