Алгебра Примеры

$125 x^{3} + 216 = 0$

Этап 1

Перепишем $125 x^{3}$ в виде ${(5 x)}^{3}$ .

${(5 x)}^{3} + 216 = 0$

Этап 2

Перепишем $216$ в виде $6^{3}$ .

${(5 x)}^{3} + 6^{3} = 0$

Этап 3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = 5 x$ и $b = 6$ .

$(5 x + 6) ({(5 x)}^{2} - 5 x \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило умножения к $5 x$ .

$(5 x + 6) (5^{2} x^{2} - 5 x \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Этап 4.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$(5 x + 6) (25 x^{2} - 5 x \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Этап 4.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$(5 x + 6) (25 x^{2} - 5 x \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Этап 4.4

Умножим $6$ на $- 5$ .

$(5 x + 6) (25 x^{2} - 30 x + 6^{2}) = 0$

Этап 4.5

Возведем $6$ в степень $2$ .

$(5 x + 6) (25 x^{2} - 30 x + 36) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5 x + 6 = 0$

$25 x^{2} - 30 x + 36 = 0$

Этап 6

Приравняем $5 x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $5 x + 6$ к $0$ .

$5 x + 6 = 0$

Этап 6.2

Решим $5 x + 6 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$5 x = - 6$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $5 x = - 6$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $5 x = - 6$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 6}{5}$

Этап 6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{6}{5}$

Этап 7

Приравняем $25 x^{2} - 30 x + 36$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $25 x^{2} - 30 x + 36$ к $0$ .

$25 x^{2} - 30 x + 36 = 0$

Этап 7.2

Решим $25 x^{2} - 30 x + 36 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.2.2

Подставим значения $a = 25$ , $b = - 30$ и $c = 36$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{30 \pm \sqrt{{(- 30)}^{2} - 4 \cdot (25 \cdot 36)}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Возведем $- 30$ в степень $2$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 25 \cdot 36}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 25 \cdot 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $25$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 100 \cdot 36}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.3.1.2.2

Умножим $- 100$ на $36$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 3600}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.3.1.3

Вычтем $3600$ из $900$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{- 2700}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.3.1.4

Перепишем $- 2700$ в виде $- 1 (2700)$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2700}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (2700)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2700}$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2700}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{30 \pm i \cdot \sqrt{2700}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.3.1.7

Перепишем $2700$ в виде $30^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $900$ из $2700$ .

$x = \frac{30 \pm i \cdot \sqrt{900 (3)}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.3.1.7.2

Перепишем $900$ в виде $30^{2}$ .

$x = \frac{30 \pm i \cdot \sqrt{30^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{30 \pm i \cdot (30 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.3.1.9

Перенесем $30$ влево от $i$ .

$x = \frac{30 \pm 30 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $2$ на $25$ .

$x = \frac{30 \pm 30 i \sqrt{3}}{50}$

Этап 7.2.3.3

Упростим $\frac{30 \pm 30 i \sqrt{3}}{50}$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{5}$

Этап 7.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1.1

Возведем $- 30$ в степень $2$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 25 \cdot 36}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 25 \cdot 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $25$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 100 \cdot 36}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.4.1.2.2

Умножим $- 100$ на $36$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 3600}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.4.1.3

Вычтем $3600$ из $900$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{- 2700}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.4.1.4

Перепишем $- 2700$ в виде $- 1 (2700)$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2700}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (2700)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2700}$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2700}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{30 \pm i \cdot \sqrt{2700}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.4.1.7

Перепишем $2700$ в виде $30^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $900$ из $2700$ .

$x = \frac{30 \pm i \cdot \sqrt{900 (3)}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.4.1.7.2

Перепишем $900$ в виде $30^{2}$ .

$x = \frac{30 \pm i \cdot \sqrt{30^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{30 \pm i \cdot (30 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.4.1.9

Перенесем $30$ влево от $i$ .

$x = \frac{30 \pm 30 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.4.2

Умножим $2$ на $25$ .

$x = \frac{30 \pm 30 i \sqrt{3}}{50}$

Этап 7.2.4.3

Упростим $\frac{30 \pm 30 i \sqrt{3}}{50}$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{5}$

Этап 7.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{5}$

Этап 7.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1.1

Возведем $- 30$ в степень $2$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 25 \cdot 36}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 25 \cdot 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $25$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 100 \cdot 36}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.5.1.2.2

Умножим $- 100$ на $36$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 3600}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.5.1.3

Вычтем $3600$ из $900$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{- 2700}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.5.1.4

Перепишем $- 2700$ в виде $- 1 (2700)$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2700}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (2700)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2700}$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2700}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{30 \pm i \cdot \sqrt{2700}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.5.1.7

Перепишем $2700$ в виде $30^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $900$ из $2700$ .

$x = \frac{30 \pm i \cdot \sqrt{900 (3)}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.5.1.7.2

Перепишем $900$ в виде $30^{2}$ .

$x = \frac{30 \pm i \cdot \sqrt{30^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{30 \pm i \cdot (30 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.5.1.9

Перенесем $30$ влево от $i$ .

$x = \frac{30 \pm 30 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

Этап 7.2.5.2

Умножим $2$ на $25$ .

$x = \frac{30 \pm 30 i \sqrt{3}}{50}$

Этап 7.2.5.3

Упростим $\frac{30 \pm 30 i \sqrt{3}}{50}$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{5}$

Этап 7.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{5}$

Этап 7.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{5}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{5}$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(5 x + 6) (25 x^{2} - 30 x + 36) = 0$ верно.

$x = - \frac{6}{5}, \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{5}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{5}$