Алгебра Примеры

$\frac{\sqrt{- 4}}{(5 + 2 i) - (3 - 4 i)}$

Этап 1

Выделим мнимую часть $i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$\frac{\sqrt{- 1 (4)}}{(5 + 2 i) - (3 - 4 i)}$

Этап 1.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$\frac{\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{(5 + 2 i) - (3 - 4 i)}$

Этап 1.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$\frac{i \cdot \sqrt{4}}{(5 + 2 i) - (3 - 4 i)}$

Этап 2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{i \sqrt{2^{2}}}{5 + 2 i - (3 - 4 i)}$

Этап 2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{i \cdot 2}{5 + 2 i - (3 - 4 i)}$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{i \cdot 2}{5 + 2 i - 1 \cdot 3 - (- 4 i)}$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{i \cdot 2}{5 + 2 i - 3 - (- 4 i)}$

Этап 3.3

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{i \cdot 2}{5 + 2 i - 3 + 4 i}$

Этап 3.4

Вычтем $3$ из $5$ .

$\frac{i \cdot 2}{2 + 2 i + 4 i}$

Этап 3.5

Добавим $2 i$ и $4 i$ .

$\frac{i \cdot 2}{2 + 6 i}$

Этап 4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$\frac{2 i}{2 + 6 i}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $2$ и $2 + 6 i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 i$ .

$\frac{2 (i)}{2 + 6 i}$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (i)}{2 (1) + 6 i}$

Этап 4.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $6 i$ .

$\frac{2 (i)}{2 (1) + 2 (3 i)}$

Этап 4.2.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (1) + 2 (3 i)$ .

$\frac{2 (i)}{2 (1 + 3 i)}$

Этап 4.2.2.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 i}{2 (1 + 3 i)}$

Этап 4.2.2.5

Перепишем это выражение.

$\frac{i}{1 + 3 i}$

Этап 5

Умножим числитель и знаменатель $\frac{i}{1 + 3 i}$ на комплексно сопряженное $1 + 3 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{i}{1 + 3 i} \cdot \frac{1 - 3 i}{1 - 3 i}$

Этап 6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим.

$\frac{i (1 - 3 i)}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Этап 6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{i \cdot 1 + i (- 3 i)}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Этап 6.2.2

Умножим $i$ на $1$ .

$\frac{i + i (- 3 i)}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Этап 6.2.3

Умножим $i (- 3 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{i - 3 (i^{1} i)}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Этап 6.2.3.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{i - 3 (i^{1} i^{1})}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Этап 6.2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{i - 3 i^{1 + 1}}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Этап 6.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{i - 3 i^{2}}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Этап 6.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{i - 3 \cdot - 1}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Этап 6.2.4.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{i + 3}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Этап 6.2.5

Изменим порядок $i$ и $3$ .

$\frac{3 + i}{(1 + 3 i) (1 - 3 i)}$

Этап 6.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Развернем $(1 + 3 i) (1 - 3 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 + i}{1 (1 - 3 i) + 3 i (1 - 3 i)}$

Этап 6.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 + i}{1 \cdot 1 + 1 (- 3 i) + 3 i (1 - 3 i)}$

Этап 6.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 + i}{1 \cdot 1 + 1 (- 3 i) + 3 i \cdot 1 + 3 i (- 3 i)}$

Этап 6.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{3 + i}{1 + 1 (- 3 i) + 3 i \cdot 1 + 3 i (- 3 i)}$

Этап 6.3.2.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{3 + i}{1 - 3 i + 3 i \cdot 1 + 3 i (- 3 i)}$

Этап 6.3.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3 + i}{1 - 3 i + 3 i + 3 i (- 3 i)}$

Этап 6.3.2.4

Умножим $- 3$ на $3$ .

$\frac{3 + i}{1 - 3 i + 3 i - 9 i i}$

Этап 6.3.2.5

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{3 + i}{1 - 3 i + 3 i - 9 (i^{1} i)}$

Этап 6.3.2.6

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{3 + i}{1 - 3 i + 3 i - 9 (i^{1} i^{1})}$

Этап 6.3.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 + i}{1 - 3 i + 3 i - 9 i^{1 + 1}}$

Этап 6.3.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 + i}{1 - 3 i + 3 i - 9 i^{2}}$

Этап 6.3.2.9

Добавим $- 3 i$ и $3 i$ .

$\frac{3 + i}{1 + 0 - 9 i^{2}}$

Этап 6.3.2.10

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{3 + i}{1 - 9 i^{2}}$

Этап 6.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{3 + i}{1 - 9 \cdot - 1}$

Этап 6.3.3.2

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$\frac{3 + i}{1 + 9}$

Этап 6.3.4

Добавим $1$ и $9$ .

$\frac{3 + i}{10}$

Этап 7

Разобьем дробь $\frac{3 + i}{10}$ на две дроби.

$\frac{3}{10} + \frac{i}{10}$