Алгебра Примеры

$\frac{2 x}{x^{2} + 4 x + 4} + \frac{x - 1}{x (x + 2)}$

Этап 1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + 4 x + 2^{2}} + \frac{x - 1}{x (x + 2)}$

Этап 1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 1.3

Перепишем многочлен.

$\frac{2 x}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{x - 1}{x (x + 2)}$

Этап 1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{2 x}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{x - 1}{x (x + 2)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{2 x}{{(x + 2)}^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 x}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x - 1}{x (x + 2)}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{x - 1}{x (x + 2)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 x}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x - 1}{x (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x {(x + 2)}^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{2 x}{{(x + 2)}^{2}}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 x \cdot x}{{(x + 2)}^{2} x} + \frac{x - 1}{x (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{x - 1}{x (x + 2)}$ на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 x \cdot x}{{(x + 2)}^{2} x} + \frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 2) (x + 2)}$

Этап 4.3

Возведем $x + 2$ в степень $1$ .

$\frac{2 x \cdot x}{{(x + 2)}^{2} x} + \frac{(x - 1) (x + 2)}{x ({(x + 2)}^{1} (x + 2))}$

Этап 4.4

Возведем $x + 2$ в степень $1$ .

$\frac{2 x \cdot x}{{(x + 2)}^{2} x} + \frac{(x - 1) (x + 2)}{x ({(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1})}$

Этап 4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x \cdot x}{{(x + 2)}^{2} x} + \frac{(x - 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{1 + 1}}$

Этап 4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 x \cdot x}{{(x + 2)}^{2} x} + \frac{(x - 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{2}}$

Этап 4.7

Изменим порядок множителей в ${(x + 2)}^{2} x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{x {(x + 2)}^{2}} + \frac{(x - 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{2}}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x \cdot x + (x - 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{2}}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + (x - 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{2}}$

Этап 6.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + (x - 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{2}}$

Этап 6.2

Развернем $(x - 1) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + x (x + 2) - 1 (x + 2)}{x {(x + 2)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2)}{x {(x + 2)}^{2}}$

Этап 6.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Этап 6.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Этап 6.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Этап 6.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{2 x^{2} + x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Этап 6.3.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2} + x^{2} + 2 x - x - 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Этап 6.3.2

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + x^{2} + x - 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Этап 6.4

Добавим $2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + x - 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Этап 6.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{3 x^{2} + 1 x - 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Этап 6.5.1.2

Запишем $1$ как $- 2$ плюс $3$

$\frac{3 x^{2} + (- 2 + 3) x - 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Этап 6.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{2} - 2 x + 3 x - 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Этап 6.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(3 x^{2} - 2 x) + 3 x - 2}{x {(x + 2)}^{2}}$

Этап 6.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (3 x - 2) + 1 (3 x - 2)}{x {(x + 2)}^{2}}$

Этап 6.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 2$ .

$\frac{(3 x - 2) (x + 1)}{x {(x + 2)}^{2}}$