Алгебра Примеры

$\frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{2 x + 1} = \frac{1}{40}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 x - 1, 2 x + 1, 40$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

Простыми множителями $40$ являются $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

У $40$ есть множители: $2$ и $20$ .

$2 \cdot 20$

Этап 1.4.2

У $20$ есть множители: $2$ и $10$ .

$2 \cdot 2 \cdot 10$

Этап 1.4.3

У $10$ есть множители: $2$ и $5$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$

Этап 1.5

Умножим $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 5$

Этап 1.5.2

Умножим $4$ на $2$ .

$8 \cdot 5$

Этап 1.5.3

Умножим $8$ на $5$ .

$40$

Этап 1.6

Множителем $2 x - 1$ является само значение $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) = 2 x - 1$

$(2 x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

Множителем $2 x + 1$ является само значение $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) = 2 x + 1$

$(2 x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

НОК $2 x - 1, 2 x + 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(2 x - 1) (2 x + 1)$

Этап 1.9

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$40 (2 x - 1) (2 x + 1)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{2 x + 1} = \frac{1}{40}$ умножим на $40 (2 x - 1) (2 x + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{2 x + 1} = \frac{1}{40}$ на $40 (2 x - 1) (2 x + 1)$ .

$\frac{1}{2 x - 1} (40 (2 x - 1) (2 x + 1)) - \frac{1}{2 x + 1} (40 (2 x - 1) (2 x + 1)) = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$40 \frac{1}{2 x - 1} ((2 x - 1) (2 x + 1)) - \frac{1}{2 x + 1} (40 (2 x - 1) (2 x + 1)) = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Этап 2.2.1.2

Объединим $40$ и $\frac{1}{2 x - 1}$ .

$\frac{40}{2 x - 1} ((2 x - 1) (2 x + 1)) - \frac{1}{2 x + 1} (40 (2 x - 1) (2 x + 1)) = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Этап 2.2.1.3

Сократим общий множитель $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{40}{2 x - 1} ((2 x - 1) (2 x + 1)) - \frac{1}{2 x + 1} (40 (2 x - 1) (2 x + 1)) = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Этап 2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$40 (2 x + 1) - \frac{1}{2 x + 1} (40 (2 x - 1) (2 x + 1)) = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Этап 2.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$40 (2 x) + 40 \cdot 1 - \frac{1}{2 x + 1} (40 (2 x - 1) (2 x + 1)) = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Этап 2.2.1.5

Умножим $2$ на $40$ .

$80 x + 40 \cdot 1 - \frac{1}{2 x + 1} (40 (2 x - 1) (2 x + 1)) = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Этап 2.2.1.6

Умножим $40$ на $1$ .

$80 x + 40 - \frac{1}{2 x + 1} (40 (2 x - 1) (2 x + 1)) = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Этап 2.2.1.7

Сократим общий множитель $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2 x + 1}$ в числитель.

$80 x + 40 + \frac{- 1}{2 x + 1} (40 (2 x - 1) (2 x + 1)) = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Этап 2.2.1.7.2

Вынесем множитель $2 x + 1$ из $40 (2 x - 1) (2 x + 1)$ .

$80 x + 40 + \frac{- 1}{2 x + 1} ((2 x + 1) (40 (2 x - 1))) = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Этап 2.2.1.7.3

Сократим общий множитель.

$80 x + 40 + \frac{- 1}{2 x + 1} ((2 x + 1) (40 (2 x - 1))) = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Этап 2.2.1.7.4

Перепишем это выражение.

$80 x + 40 - (40 (2 x - 1)) = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Этап 2.2.1.8

Умножим $40$ на $- 1$ .

$80 x + 40 - 40 (2 x - 1) = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Этап 2.2.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$80 x + 40 - 40 (2 x) - 40 \cdot - 1 = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Этап 2.2.1.10

Умножим $2$ на $- 40$ .

$80 x + 40 - 80 x - 40 \cdot - 1 = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Этап 2.2.1.11

Умножим $- 40$ на $- 1$ .

$80 x + 40 - 80 x + 40 = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Объединим противоположные члены в $80 x + 40 - 80 x + 40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Вычтем $80 x$ из $80 x$ .

$0 + 40 + 40 = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Этап 2.2.2.1.2

Добавим $0$ и $40$ .

$40 + 40 = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Этап 2.2.2.2

Добавим $40$ и $40$ .

$80 = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $40$ из $40 (2 x - 1) (2 x + 1)$ .

$80 = \frac{1}{40} (40 ((2 x - 1) (2 x + 1)))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$80 = \frac{1}{40} (40 ((2 x - 1) (2 x + 1)))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$80 = (2 x - 1) (2 x + 1)$

Этап 2.3.2

Развернем $(2 x - 1) (2 x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$80 = 2 x (2 x + 1) - 1 (2 x + 1)$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$80 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 - 1 (2 x + 1)$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$80 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Объединим противоположные члены в $2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Изменим порядок множителей в членах $2 x \cdot 1$ и $- 1 (2 x)$ .

$80 = 2 x (2 x) + 1 \cdot 2 x - 1 \cdot 2 x - 1 \cdot 1$

Этап 2.3.3.1.2

Вычтем $2 x$ из $1 \cdot 2 x$ .

$80 = 2 x (2 x) + 0 - 1 \cdot 1$

Этап 2.3.3.1.3

Добавим $2 x (2 x)$ и $0$ .

$80 = 2 x (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 2.3.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$80 = 2 \cdot 2 x \cdot x - 1 \cdot 1$

Этап 2.3.3.2.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Перенесем $x$ .

$80 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 1 \cdot 1$

Этап 2.3.3.2.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$80 = 2 \cdot 2 x^{2} - 1 \cdot 1$

Этап 2.3.3.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$80 = 4 x^{2} - 1 \cdot 1$

Этап 2.3.3.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$80 = 4 x^{2} - 1$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $4 x^{2} - 1 = 80$ .

$4 x^{2} - 1 = 80$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{2} = 80 + 1$

Этап 3.2.2

Добавим $80$ и $1$ .

$4 x^{2} = 81$

Этап 3.3

Разделим каждый член $4 x^{2} = 81$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $4 x^{2} = 81$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{81}{4}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{81}{4}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{81}{4}$

Этап 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{81}{4}}$

Этап 3.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{81}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{81}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{4}}$

Этап 3.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9^{2}}}{\sqrt{4}}$

Этап 3.5.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{9}{\sqrt{4}}$

Этап 3.5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{9}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 3.5.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{9}{2}$

Этап 3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{9}{2}$

Этап 3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{9}{2}$

Этап 3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{9}{2}, - \frac{9}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{9}{2}, - \frac{9}{2}$

Десятичная форма:

$x = 4.5, - 4.5$

Форма смешанных чисел:

$x = 4 \frac{1}{2}, - 4 \frac{1}{2}$